десятой книге „Начал" Эвклид при рассмотрении проблем, которые исследовали бы в наше время путем повторного решения уравнений второй степени, обнаруживает огромное алгебраическое искусство. В частности, ему удается таким путем добыть новые средства для обозначения величин, к которым он приходит при нахождении сторон и ребер правильных многоугольников и многогранников. Но прежде чем добраться до последних (в тринадцатой книге „Начал"), ему приходится изложить в одиннадцатой книге своего труде начатки стереометрии.
В первых теоремах, касающихся взаимного расположения прямых и плоскостей, мы встречаемся с самого начала с теми же теоремами и доказательствами, что и в современных руководствах. Однако Эвклид должен здесь, как и в планиметрии, дать место» наряду с теоремами, некоторым построениям, ибо только с помощью последних получаются необходимые доказательства существования рассматриваемых фигур. Если принять во внимание, что построения с помощью плоскостей не подготовлены здесь так, как подготовлены в постулатах первой книги построения с помощью прямых, то естественно, что Эвклид вынужден, по мере возможности, свести их к планиметрическим построениям. Так, например (теорема 11), Эвклид, чтобы опустить перпендикуляр на плоскость из некоторой точки Д расположенной вне этой плоскости, проводит сперва из точки А перпендикуляр AD к какой-нибудь прямой ВС плоскости, затем проводит из А другой перпендикуляр к расположенной в той же плоскости прямой, перпендикулярной к ВС сточке D, основании первого перпендикуляра. Далее (12), для того чтобы восстановить в какой-нибудь точке плоскости перпендикуляр к ней, он опускает сперва из какой-нибудь внешней точки перпендикуляр на плоскость, после чего он проводит из данной точки прямую, параллельную этому перпендикуляру.
В этой книге Эвклид устанавливает, в частности, ряд теорем^ которые пригодятся ему впоследствии при построении параллелепипедов и многогранников, как, например в 20 и 21,—известные теоремы о плоских углах многогранного угла. После этого в 22 подготовляется, а в 23 выполняется построение трехгранного угла по заданным плоским углам; для этого на сторонах углов, данных как грани искомого трехгранного угла, откладывают равные отрезки; потом в получившихся, таким образом, трех равнобедренных треугольниках берут их основания и по ним строят треугольник^ вокруг которого описывают окружность; центр этой окружности и есть проекция вершины искомого трехгранника. Эвклид тщательно доказывает возможность этого построения, исходя, конечно, из условия, что грани удовлетворяют требованиям теорем 20 к 21; и, таким образом, он показывает, что эти условия достаточны.
Остальная часть книги посвящена, главным образом, вопросу о параллелепипедах, об отношениях между их величинами и заканчивается теоремой о нахождении объема треугольцой призмы. Но в доказательствах этой книги есть отмеченный уже выше недостаток, связанный с геометрическими гипотезами о стереометрических величинах.
В двенадцатой книге имеется среди прочих и теорема о нахождении объема пирамиды; мы еще будем иметь случай подробнее говорить о ней, а также и о нахождении других объемов, получаемых в этой книге с помощью метода исчерпывания.