Доказательство посредством метода исчерпывания; двенадцатая книга „Начал". Занимаясь точным определением величин, являющихся предельными значениями для случаев бесконечного приближения, Эвдокс применил те же способы, которыми он пользовался в теории пропорций для точного исследования величин, доступных лишь приближенному определению с помощью рациональных числовых отношений. Метод, придуманный им для строгого получения этих предельных значений без помощи идеи бесконечного, неприемлемой для тогдашних математиков, представляет столь четкие и точные формы, что он вполне заслуживает особенного наименования; мы станем пользоваться наименованием, данным ему в XVII в., и будем называть его доказательством путем исчерпывания. Доказательство это опирается на гипотезу, выдвинутую в четвертом определении пятой книги „Начал", или более непосредственным образом на теорему 1 десятой книги, выведенную из этой гипотезы, — теорему, согласно которой, если отнять половину— или больше половины — какой-нибудь величины и если повторять эту операцию достаточное число раз, то можно, в конце концоз, получить величину, меньшую любой заданной величины.