Рассмотрим доказательство путем исчерпывания в его первом приложении у Эвклида (XII, 2), который им пользуется для установления того, что площади двух кругов пропорциональны квадратам их диаметров. В предшествующей этому теореме 1 доказывается, что площади подобных вписанных многоугольников пропорциональны квадратам диаметров соответствующих окружностей; довольствуясь краткой формулировкой, мы можем сказать, что доказательство теоремы 2 основывается на рассмотрении окружностей, как пределов этих многоугольников.
Правомерность этого перехода к пределу обеспечивается доказательством путем исчерпывания, а применение для этого X, 1 (имеющее место лишь в самом доказательстве) имеет целью показать в этом случае, что в окружность можно вписать многоугольник с таким числом сторон, что разность между ним и кругом может быть сделана меньше любого заданного предела; действительно, при удвоении числа сторон многоугольника мы получаем вписанные в сегменты круга треугольники; треугольники эти, дающие названную разность, равны половине прямоугольников, объемлющих эти сегменты, и, следовательно, сами больше половины сегментов.
бы мы в настоящее время при изложении теории бесконечного, ибо это равнозначуще было бы попытке объяснить понятия той же природы, что и бесконечно-малое (infinitesimale) приближение, а следовательно, равнозначуще допущению таких понятий, на что они не могли пойти. Все они — как Эвклид, так после нег о Архимед — довольствуются тем, что повторяют одни и те же приемы доказательства всякий раз, когда в этом представится необходимость
Уже в теореме 5, в которой доказывается, что объемы треугольных пирамид с одинаковой высотой пропорциональны площадям их оснований, Эвклид находит повод повторить названное доказательство, доказав предварительно в теоремах 3 и 4, что необходимые для применения его гипотезы действительно существуют. Он поступает тут следующим образом: с помощью плоскостей EFGy EGIH и ЕНК, проходящих через середины 3 или 4 ребер, он разлагает треугольную пирамиду на две подобные ей, но с половинными размерами пирамиды и на две равные между собой призмы; у каждой призмы та же высота и та же площадь основания, что у одной из малых пирамид, как в это доказывается на основании теорем предшествующей книги.