Чтобы выяснить полностью логическую ценность доказательства путем исчерпывания, небесполезно будет сравнить его с современными аналогичными методами. Хотя древние ученые абсолютно избегали таких выражений, как „предельное значение бесконечного приближения", но, как мы уже сказали, фактически доказательство путем исчерпывания дает эти самые значения В основе всего этого приема лежит даже строгое понятие о пределе, ибо при нем стремятся довести (конечное) приближение до того, чтобы отклонение приближенного значения от предельного значения было меньше всякой данной величины. Таким образом доказательство путем исчерпывания является точным доказательством, антитетическим доказательством однозначности такого способа вычисления или того факта, что две величины, являющиеся при этом способе пределами одних и тех же приближенных значений, равны между собой. Оно, в силу этого, является одним из необходимых элементов всякого законченного, оперирующего с бесконечно-малыми, исследования (recherche infinite-simale), притом элементом таким, что всякий раз, когда имеется налицо доказательство путем исчерпывания, можно утверждать,что мы имеем дело с исследованием в области бесконечно-малого, исследованием, приводящим к результату, правильность которого будет затем доказана.
Изыскания в области бесконечно-малых, которые встречаются у древних авторов в тех случаях, когда они пользовались доказательством путем исчерпывания, можно свести, впрочем, к некоторым употребляемым еще и ныне методам исчисления бесконечно-малых. Так, можно утверждать, что не только вычисление объема пирамиды („Начала", XII, 5) и площади параболического сегмента у Архимеда, но и вычисление площади круга (XII, 2) происходит с помощью сходящихся рядов, а также что Архимед, как мы увидим, прибегает к тем самым бесконечным суммам бесконечно-малых количеств, которые в настоящее время называются определенными интегралами. Доказательство путем исчерпывания обеспечивает строгое и точное применение этих способов, но древние авторы (если судить, по крайней мере, на основании сохранившихся до нашего времени трудов их) до того заняты вопросом об обеспечении этой строгости в каждом отдельном случае, что у них не остается ни места, ни времени, чтобы, выйдя из рамок занимающего их в данный момент вопроса, развить дальше методы, которыми они пользуются для получения своих результатов, и создать новые методы.
Когда в XVII в. ученые снова обратились к исследованиям в области бесконечно-малых, опираясь особенно на работы Архимеда, то их, главным образом, интересовал вопрос не только о том, чтобы понять, как он доказывает полученные им результаты, но также и о том, каким путем он пришел к ним и каким путем можно самому найти новые результаты. С этой целью и стали развивать новые методы. Тем не менее, в большинстве случаев продолжали обеспечивать строгость полученных мало-по-малу результатов, либо пользуясь доказательством путем исчерпывания, либо, по крайней мере, ограничиваясь замечанием, что к ним можно применить это доказательство. Так, например, поступал Ферма (Fermat), и так продолжали даже поступать еще тогда, когда диференциальное и интегральное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем.
Но зато с другой стороны, когда мало-по-малу приучились пользоваться методами, дававшими новые результаты, и когда манипулирование бесконечно-малыми стало обыкновенным делом, то нередко стали пренебрегать логическими предосторожностями и логической строгостью, которую преследовало доказательство путем исчерпывания. Начали считать, что бесконечно-малые величины достаточно определяются одним своим наименованием, а в отдельных случаях доходили до того, что признавали какую-нибудь величину определенной некоторым бесконечным рядом, не убедившись даже в сходимости его.