Однако, когда дело идет о нахождении длины кривой линии или площади кривой поверхности, недостаточно общих аксиом о величинах.
Поэтому в настоящее время считают особенно необходимым определить эти понятия с помощью того же самого процесса приближения, при посредстве которого находят фактически эти величины. Мы увидим, что от Архимеда, во всяком случае, не ускользнуло то затруднение, на которое я здесь намекаю. Для устранения его он не обращается, однако, к формальным определениям соответствующих понятий; вместо этого он прямо выставляет гипотезы, которыми он пользуется по способу древних— он постулирует; не ограничиваясь общими постулатами, он выдвигает эти гипотезы в процессах приближения, с помощью которых он находит значение величин, и в своих доказательствах сходимости этих процессов.
Гипотезы эти выставлены в качестве постулатов в его сочинении „О шаре и цилиндре"; согласно им:
1) прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;
2) из двух линий, проведенных между теми же самыми точками и обращенных своей выпуклостью в одну и ту же сторону, внешняя линия больше;
3) плоская поверхность меньше кривой поверхности, ограниченной тем же контуром;
4) из двух кривых поверхностей, ограниченных одним и тем же плоским контуром и обращенных своей выпуклостью в одну и ту же сторону, внешняя поверхность больше.
Некоторые исследователи готовы были видеть в первом постулате, вырванном из контекста, определение прямой линии. Но это — явное недоразумение, ибо постулат этот и следующий за ним, скорее, служат для определения понятия длины кривой линии, а последние два — для определения понятия площади кривой поверхности. Что эти косвенные определения достаточны, это вытекает из того, что они приводят в действительности к вычислениям соответствующих величин, хотя 2 и 4 (без которых, разумеется, нельзя обойтись окончательно) содержат несколько больше, чем это строго необходимо.
Познакомившись, таким образом, с общими принципами, которыми пользовался Архимед для своих строгих вычислений в области бесконечно-малого с помощью доказательства путем исчерпывания, мы можем в дальнейшем ограничиться кратким указанием разложений, послуживших для этих вычислений, и полученных таким образом результатов, не вдаваясь в подробное рассмотрение хода доказательства.