Наряду с вычислением площадей, главной целью этого трактата является еще другой вопрос из области бесконечно-малого, именно нахождение касательных к спиралям. Для этого Архимед рассматривает (пользуясь, разумеется, обязательно доказательством путем исчерпывания) тот самый бесконечно-малый треугольник, который употребляют и теперь для нахождения касательных к кривым, выраженным в полярных координатах. В итоге он получает, что полярная подкасательная равна . Подкаса-тельные в концах различных целых завитков спирали представляли для него, как мы уже указывали на стр. 63, особенный интерес лотому, что они давали ему прямолинейные отрезки, равные окружностям.
Но, разумеется, самым крупным достижением Архимеда в области интегрирований является вычисление (в труде „О шаре и цилиндре) поверхности шара, вычисление, мало отличающееся от того, которое дается теперь в наших учебниках; он доказывает, в согласии с заголовком труда, что поверхности шарового пояса и соответственной части описанного цилиндра равны между собой. Исходя из этого, он без труда получает ряд других аналогичных вычислений и определяет также объемы шара, сектора и сегмента.
Так как Архимед (как, впрочем, и Эвклид) никогда не вводит никакой единицы, то все его вычисления объемов сводятся, по существу, к построению цилиндров и конусов, равновеликих искомым объемам.