Таким образом с помощью сечений, перпендикулярных к какой-нибудь образующей, можно было представить всякую параболу, эллипс или гиперболу как сечение конуса вращения. Разумеется, нетрудно было тогда заметить и обратное, именно, что все получаемые таким образом сечения представляют параболы, эллипсы или гиперболы; и вряд ли от внимания исследователей могло ускользнуть то обстоятельство, что в этом случае особенное положение секущей плоскости не играет никакой роли.
Во всяком случае, тот же метод должен был оказаться применимым и к сечениям другого рода, как это видно из сочинения
Архимеда о коноидах и сфероидах; действительно, судя по введению к этому сочине-нию,уже до Архимеда были знакомы со всеми эллиптическими сечениями прямых конусов, а в самом тексте этого произведений рассматриваются даже эллиптические сечения наклонных конусов с круговым основанием, именно те, которые перпендикулярны к плоскости симметрии конуса. Архимед решает здесь задачу, которую на нашем современном языке можно формулировать следующим образом: найти круговые сеченая конической поверхности второго порядка, главные сечения которой известны; хотя Архимед ничего не говорит о расположенных аналогичным образом гиперболических сечениях, но так как он не нуждается в них для поставленных им себе задач, то его молчание на этот счет не означает вовсе, что он не был знаком с ними.
Архимед при одном случае сообщает нам даже, каким путем он нашел планиметрическое определение (determination) плоских сечений круговых конусов.