Планиметрическая теорема, которой здесь пользуется Архимед, предполагается известной; следовательно, ею наверное пользовались и до Архимеда, чтобы вывести свойства конических сечений. Но согласно так называемой теореме о степени, о которой речь у нас будет ниже и которую тоже знал Архимед, эта планиметрическая теорема остается в силе даже тогда, когда точки М, N, Мъ Nx расположены на любом коническом сечении; следовательно, Архимед мог в вышеупомянутом сочинении о поверхностях вращения второго порядка найти абсолютно тем же самым способом плоские сечения этих поверхностей.
Утверждая, что открытие Менехма заключалось, по существу, в трактовке параболы, эллипса и гиперболы, как конических сечений, мы должны были в то же время допустить, что эти кривые были изучены—по крайней мере отчасти — уже раньше, в частности в связи с делосской проблемой, и что исходным пунктом для этих исследований были те свойства, которые в настоящее время мы выражаем с помощью их простейших уравнений. Серьезным подтверждением этой гипотезы является то обстоятельство, что у всех греческих авторов в основе их исследований лежат главные планиметрические свойства этих кривых, а не рассмотрение их как конических сечений; гипотеза эта, кроме того, объясняет еще и тот факт, что теория конических сечений могла развиться у греков с той быстротой, с которой, как мы знаем, это произошло вскоре после Менехма.