Если Эвклиду мы обязаны знакомством с элементарной геометрией древних, то их теорию конических сечений мы знаем, главным образом, по великому труду Аполлония. Однако из восьми книг этого труда сохранилось лишь семь, из них первые четыре — по-гречески, остальные три — в арабском переводе.
Первые четыре книги содержат то, что называют начатками теории конических сечении, т. е. систематическое изложение главных свойств этих сечений; эти свойства служат затем как для приложения теории к решению задач на построение посредством пространственных мест, так и для более специальных исследований дальнейших свойств конических сечений. Наоборот, следующие книги посвящены именно такого рода специальным изысканиям. Так, например, пятая книга, занимающаяся вопросом о нормалях к коническим сечениям и о построении нормалей, выходящ IX из данной точки, представляет наиболее полный сохранившийся до нас образчик приложения конических сечений к построениям и, вместе с тем, образец тонкого теоретического исследования, связанного с подобными построениями.
Но все же объем сведений древних в области конических сечений мы узнаем, главным образом, из первых четырех книг. Поэтому мы остановимся на изложении их довольно подробно не только для того, чтобы дать обзор сведений древних в теории конических сечений, но и для того, чтобы выяснить, каким образом они могли достигнуть полученных ими в этой области результатов.
Рассмотрим же, как устанавливается в первой книге основа всей теории.
Хотя исходный пункт работы Аполлония не тот, что у его предшественников, но из его предисловия ясно, что теоремы.
из которых складывается эта основа, в значительной мере — те же самые, какими пользовались его предшественники. Однако в теоремах, относящихся к гиперболе, у Аполлония наблюдается значительный прогресс; хотя он называет обе ветви гиперболы противолежащими гиперболами, но он рассматривает их, как одну единственную кривую, достигая, таким образом, в теоремах об эллипсе и гиперболе однородности, которая возможна лишь при таком подходе к вопросу.