Однако геометрическая форма, приданная этим методом самой алгебре, была причиной многочисленных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования, комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической геометрии, в особенности, поскольку последняя стремилась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисления. Наоборот, древние методы более похожи на современную трактовку аналитической геометрии, при которой учитываются также геометрические значения производимых операций.
Разумеется, мы не в состоянии проследить здесь в подробностях все те представленные в геометрической форме преобразования уравнений кривой, с помощью которых достигают мало-по-малу конечного результата, являющегося главной, как мы сказали, целью книги; но в качестве примера мы приведем все же одну из промежуточных теорем, играющую кардинальную роль как в рассматриваемой книге, так и позже, в вопросах, которым посвящена третья книга.