В третьей книге рассматриваются, прежде всего, свойства точек кривых, независимые от диаметров и осей. Аполлоний выводит их без труда из названной уже нами теоремы площадей, сводящейся фактически к отнесению кривой к двум несопряженным диаметрам. Легко понять, что это является также отличным исходным пунктом для доказательства известной уже Архимеду теоремы о степени, — теоремы, относящейся к хордам, имеющим данное, но произвольно выбранное направление. В этой книге встречаются также главные теоремы о полюсах и полярах и, наконец, — получение конического сечения с помощью двух пучков прямых, называемых в настоящее время проективными или гомографтескими: вершинами этих пучков являются любые точки А и С кривой, а соответствующие прямые AM и СМ характеризуются тем, что они отсекают на прямых, провеленных через С и Л параллельно касательным в Л и С, такие отрезки СР и AQ, что построенный на них прямоугольник обладает постоянной площадью.
Легко заметить, что все эти предложения неполны и даже мало понятны, если рассматривать только одну ветвь гиперболы. Поэтому ясно, какие выгоды представляет рассмотрение обеих ветвей гиперболы, как это начал делать — особенно в третьей книге своего труда,— Аполлоний, который благодаря этому возвышается над всеми прежними исследователями этого вопроса, хотя отдельные теоремы — в более ограниченном виде — и были известны до него.
Другая группа предложений той же книги относится к вопросу о простейших случаях проведения касательных, не пользуясь точками касания. В частности, здесь указывается, как провести касательные к гиперболе, рассматривая их как прямые, которые отсекают на асимптотах, считая от центра, отрезки, образующие прямоугольник с постоянной площадью, или же, как провести касательные к эллипсу и гиперболе, рассматривая их как прямые, отсекающие на параллельных между собой и неизменных касательных, считая от их точек касания, отрезки, образующие
прямоугольник с постоянной площадью. Касательные к параболе находятся как прямые, точки пересечения которых с неизменными касательными проходят одновременно пропорциональные отрезки.