В четвертой книге определяется наибольшее число точек пересечения двух конических сечений. В предисловии Аполлоний определенно заявляет, что его собственный вклад в теорию заключается, главным образом, в том, что он привлек к рассмотрению обе ветви гиперболы — обстоятельство, играющее здесь кардинальную роль. О пятой книге мы будем говорить подробнее, когда займемся вопросом о том, как древние изучали пространственные задачи.
В шестой книге говорится, с одной стороны, о подобных конических сечениях; с другой же,— в ней содержатся некоторые обобщения начатых еще в первой книге построений, относящихся к конусам, проходящим через данные конические сечения.
В седьмой книге содержится довольно значительное количество выражений для некоторых функций длин сопряженных диаметров, параметров и т. д. Здесь встречаются некоторые важные теоремы, как, например, следующие: площадь треугольника, образованного двумя сопряженными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, — постоянна (в случае гиперболы два рассматриваемых сопряженных диаметра представляют диаметры сопряженных гипербол); сумма или разность квадратов сопряженных диаметров постоянна. В тех случаях, когда такого рода функции не обладают постоянным значением, отыскиваются их максимальные и минимальные значения.
Наконец, в седьмой книге даются доказательства, относящиеся к диоризмам задач, которые должны были быть решены в утерянной для нас восьмой книге, —по крайней мере, так говорится з предисловии. На основании этого мы можем предположить, что задачи эти имели целью найти сопряженные диаметры, для которых названные функции имеют данные значения. Найденные з седьмой книге выражения для этих функций непосредственно давали бы в этом случае уравнения, необходимые для решения задач.
В таком именно духе и была восстановлена Галлеем (Halley) восьмая книга.