Как мы уже указали, первоначальной целью теории конических сечений было получение геометрических мест, пригодных при решении задач, для которых оказались недостаточными прямая и круг. Задачи, решаемые с помощью прямой и круга, называются плоскими задачами, а прямая и круг, рассматриваемые как геометрические места, называются плоскими местами. В позднейшей древности предполагали, что это последнее название — первоначальное, ибо первоначально рассматриваемые линии (прямую и круг) характеризовали тем, что они расположены в плоскости. Но с такой же вероятностью можно допустить, что название плоских относилось первоначально к задачам, которые зависят от уравнений не выше второй степени и которые, следовательно, представляются в геометрической алгебре, в плоскости, отношениями между площадями.
Если принять это последнее предположение, то название пространственных задач должно было применяться первоначально к задачам, зависящим от уравнений третьей степени и выражающимся отношениями между параллелепипедами. Что касается термина пространственные места, то он означает геометрические места, представленные коническими сечениями, и можно предположить, что свое название они получили оттого, что предназначались для решения пространственных задач. Однако в позднегреческую эпоху допускали, наоборот, что название пространственные жеста — первоначальное и что оно происходит от стереометрического определения конических сечений.
К несчастью, сочинение Аристея, в котором конические сечения, несомненно, рассматривались как геометрические места, оказалось утерянным, а о позднейших трудах, преследовавших ту же самую цель, мы ничего не знаем. Но так как теория конических сечений Аполлония разбирает тот же самый вопрос с другой стороны, то из нее можно сделать вывод, какие были известны или какие, по крайней мере, можно было найти пространственные места, когда требовалось применить их к какой-нибудь задаче. Уже из первой книги Аполлония видно, что так оно должно было быть в том случае, когда некоторые данные прямые можно было сразу рассматривать как сопряженные диаметры, и даже в более сложных случаях: действительно, в теореме площадей кривую относят к двум несопряженным диаметрам.
Но третья книга дает нам возможность проникнуть глубже в суть вопроса благодаря, во-первых, своему более общему-характеру, а во-вторых, благодаря тому, что Аполлоний определенно указывает поставленную им себе здесь цель. Пользуясь в этой книге более совершенными методами, благодаря введению обеих ветвей гиперболы, Аполлоний может, по собственному его признанию, исправить недостатки прежнего способа определения пространственных мест.