Специальное указание Аполлония на введенное им при рассмотрении этих вопросов усовершенствование достаточно свидетельствует о том крупном значении и о том внимании, которое уделяли геометрическим местам к четырем и трем прямым.
С этим вопросом о геометрических местах к четырем прямым связано, может быть, еще другое утраченное произведение Аполл-ния, именно „Трактат об определенном сечении". Действительно, известно, что в этой книге решалась и тщательно разбиралась задача о построении на некоторой прямой точек, расстояния которых от двух пар точек, расположенных на той же самой прямой, образуют прямоугольники, находящиеся между собой в некотором данном отношении. Задача эта легко сводится к нахождению точек пересечения некоторой прямой и некоторого геометрического места к четырем прямым, причем все четыре расстояния берутся параллельными данной прямой. Если рассматривать дело таким образом, то задача нахождения геометрического места к четырем прямым совпадает с теоремой об инволюции точек пересечения прямой с коническим сечением и с противоположными сторонами вписанного в него четыреугольника, теоремой, вновь найденной впоследствии Дезаргом (Desargues) и носящей его имя. Нет сомнения, что в „Трактате об определенном сеченииu содержались некоторые важные части современной теории инволюции.
Таким образом первоначально, как мы думаем, пространственными задачами называли задачи, которые зависели от уравнений третьей степени и которые представляли стереометрическим образом; впоследствии же так стали называть решения с помощью конических сечений, а также под конец и задачи, которые, выраженные аналитически, зависели бы от уравнений четвертой степени.