На примере того, что мы назвали интегрированиями Архимеда, на примере аполлониевой теории конических сечений и сделанных из нее греками приложений к решению вопросов, зависящих, выражаясь языком нашего анализа, от уравнений третьей и четвертой степени, мы можем убедиться, до какой высоты древние подняли геометрию, а также другие разрабатывавшиеся ими области математики, облеченные в геометрическую форму. Мы видели также, с какой строгостью стремились обеспечить всеобщую значимость математики. Но наряду с этим нам пришлось не раз указывать на то, что под влиянием этого стремления к общезначимым результатам древние обращали слишком мало внимания на развитие вычисления, благодаря которому математика и могла только получить практическое приложение.
Разумеется, древние не пренебрегали совершенно этой стороной дела: они продолжали применять к измерению земли геометрические предложения, заимствованные у египетских землемеров, прибавив к этому еще ряд простейших, открытых ими самими-теорем. Было бы, разумеется, нелепо допустить, что проницательные математики, сумевшие придать полученным ими результатам столь общую форму, не понимали практического значения этих результатов, в частности, для решения представлявшихся в практике числовых проблем. Ученые, разработавшие столь утонченную теорию пропорций, не могли, конечно, не знать, как решаются, скажем, задачи на простое или сложное тройное правило.
Если судить по собранию задач Герона (у которого, между прочим, можно встретить одну геометрическую теорему, имевшую непосредственнейшее приложение на практике — именно вычисление площади треугольника по трем сторонам его), то древние применяли числовым образом, по крайней мере, простейшие теоремы планиметрии и стереометрии и решали уравнения второй степени. Но ограниченная область геометрии, откуда черпались эти приложения, а также незначительная степень точности, которой довольствовался в своих выкладках Герон, достаточно объясняют, почему мы имеем право ставить невысоко эту сторону греческой математики.
Этот низкий уровень приложений, математики к практическим выкладкам, наблюдаемый в эпоху расцвета греческой геометрии^ объясняется не только недостатком способности к вычислениям, о котором мы говорили уже выше , но также тем, что сами результаты этой геометрии не особенно годились для таких приложений. Задачи, как мы знаем, решались с помощью построений, которые, разумеется, можно было нередко превращать в вычислительные операции, как это и делалось, наверное, задолго до Герона. Однако даже в рамках элементарной геометрии существует одна важная область, в которой превращение этого рода невозможно,—именно область задач, когда величинами, определяемыми друг через друга, оказываются не только отрезки, площади, или объемы, а также и углы. Иными словами, даже в. лучшие дни александрийской эпохи греки не имели еще тригонометрии,— пробел, который должны были только начать заполнять великие геометры и астрономы той эпохи.