Если теперь спросить, как возможен был такой упадок столь прочно обоснованной и столь пышно развивавшейся науки, как греческая геометрия, то является несомненным искушение приписать причину этого различным внешним обстоятельствам, на которые мы указали уже в нашем историческом обзоре. Но это все же не является достаточным объяснением. Ведь, как видно по Паппу, сохранилось множество древних трудов, на основе которых могла бы возродиться оборвавшаяся математическая традиция и могла бы начаться дальнейшая творческая эволюция. Однако в древности этого не произошло. Необходимо было, чтобы в изучение трудов древних математиков был внесен — сперва у арабов, затем в новое время у европейцев—совершенно новый, оригинальный дух, толкавший мысль в совершенно новых направлениях, — и лишь тогда стало возможным полное усвоение самого существа работы древних.
Причины этого упадка, а также невозможности возрождения математического творчества, следует поэтому искать в недостатках, присущих писаниям древних, которыми тогда все еще располагали. Мы уже мимоходом указывали на эти недостатки, но небесполезно будет еще раз обозреть их.
Первый недостаток связан с тем обстоятельством, которое в других отношениях вызывает у нас величайшее восхищение — именно с исключительной заботливостью обеспечить, при помощи строгих форм, логическую неуязвимость доказательства. Непосредственным результатом этой вечной заботы о логической строгости явилось то, что устраняли все, что могло бы облегчить для начинающего понимание постановки вопросов, что позволило бы обозреть их сразу или лучше уяснило бы цель каждой отдельной операции. Разумеется, в течение долгого времени сохранялось до известной степени понимание того, чго скрывалось под строгостью этих форм; научились даже отчасти подражать им; но, тратя на это всю свою энергию и не умея охватить умственным взором всего целого науки, неизбежно стали интересоваться только этими формами, усваивая лишь простейшую часть их содержания; с другой стороны, само преклонение перед этими формами придавало им характер такого исключительного совершенства, что это дожно было отбивать охоту предаваться собственному творчеству. Действительно, вначале плоды такого-, творчества должны были бы облекаться в несравненно менее совершенную форму.
Другим неблагоприятным обстоятельством была геометрическая форма, которую приняла алгебра и наука о величинах вообще. Конечно, эта геометрическая форма ни со стороны ясности, ни со стороны практических удобств для выполнения алгебраических операций нисколько не уступала современной алгебраической символике вопреки тому, что мог бы подумать современный читатель. Кто привык в этому способу представления и знаком с значением фигур, тот может комбинировать их и оперировать с ними так же легко, как мы комбинируем теперь и оперируем с буквенными выражениями; он может, кроме того, указывая на фигуры, объяснять устно своим ученикам производимые им действия. Благодаря этому в мирную эпоху, пока продолжало развиваться в Александрии устное преподавание, понимание математики должно было сохраняться в целости. Но лишь только был нарушен мир и благодаря этому утратилась традиция, сохранявшаяся устным преподаванием, как единственным ресурсом оказалось изучение педантически кропотливо разработанных трудов, в результате чего и произошел неизбежно заметный упадок. Действительно, изучение геометрической алгебры путем чтения дело трудное, что легко понять, если принять во внимание, что текст и чертежи существуют как бы каждые сами по себе и что поэтому их надо изучать, переходя непрерывно от одного к другим.