Мы уже познакомились по „Началам" (книги 7—9) с общей научной основой арифметики; конечно, ни по размерам, ни по научной прочности ее нельзя сравнить с тем фундаментом, на котором в других книгах своего труда Эвклид возводит здание геометрии и, в геометрическом облачении, общей теории величин; но все же по форме изложение носит столь же общий характер. Хотя дело идет о числах, но предложения не иллюстрируются числовыми примерами, которые, несомненно, послужили для установления общей теории. Так, можно быть >веренным, что пифагорейцы были знакомы с примерами так называемых совершенных чисел. Касаясь геометрической арифметики, мы говорили также о различных других числовых формах, например о многоугольных числах, которыми начали интересоваться еще с ранних лор. Подобные исследования были первоначально, наверное, связаны с практическим вычислением таких чисел.
Наконец, мы видели, что в теории чисел внимание привлекала к себе целая группа исследований касательно приложения общих решений уравнений второй степени к численным уравнениям. Ученые исследовали условия, при которых комбинации чисел обеспечивают рациональные решения квадратных уравнений, т. е. условия, при которых известные числовые выражения представляют квадраты. С этой целью изучали уравнения, называемые теперь неопределенными уравнениями второй степени.
Мы сказали также, что эти уравнения употреблялись при приближенном извлечении квадратного корня из некоторых определенных чисел, например из 2. Однако у прежних греческих математиков встречаются только отдельные примеры подобных уравнений, и если мы сочли нужным все же упомянуть о них,то потому, что они явились, как мы вскоре увидим, исходным пунктом особенной линии развития, в которой впоследствии греки подвинулись далеко вперед. Действительно, если первоначально стремились к рациональным решениям, то впоследствии интерес стали привлекать к себе сами неопределенные уравнения.
В течение александрийского периода продолжали практически изучать определенные классы целых чисел; свидетельством этого являются работы Эратосфена и его способ получения простых чисел с помощью так называемого эратосфенова решета (cribrum Eratosthenis). Выписывают сперва весь ряд целых чисел до того пункта, на котором хотят остановить исследование, затем вычеркивают каждое второе число, начиная с 4, каждое третье, начиная с 6, каждое пятое, начиная с 10, и т. д. Оставшиеся числа, пропущенные, так сказать, через решето, и будут простыми числами.