До 300 г. (н. э.) к сокровищнице арифметики в том объеме, в каком она имелась во времена расцвета греческой геометрии, были присоединены лишь отдельные разрозненные открытия; но и о них мы не знаем, в какую эпоху они были сделаны. Только у Диофанта александрийского мы встречаем нечто новое, представляющее довольно значительный общий интерес. Его дошедший до нас труд по арифметике показывает нам греческую математику с такой стороны, о которой мы имеем лишь слабое и неясное представление на основании сохранившихся произведений его предшественников. Разумеется, теоретическая основа труда Диофанта — та же, что и у Эвклида, и цель его интересных исследований заключается — как мы уже это указали, говоря о его предшественниках — в том, чтобы избежать иррациональных количеств. Но изыскания эти получили неизвестный до того размах; с их помощью он в состоянии дать примеры определенных задач, приводящих в самых различных формах к уравнениям с рациональными решениями, и, кроме того, выставить обширный ряд неопределенных задач, для которых нужно всегда найти рациональные решения.
Между методом Диофанта и сохранившимися до нас способами изложения его предшественников существует, кроме того, следующее крупное отличие: Диофант занимается лишь специальными числовыми задачами и для решения их пользуется лишь чисто числовыми операциями, не устанавливая никогда общих теорем. Так как не только данные числа рациональны, но должны быть рациональны и искомые числа, то он не так нуждается в геометрическом представлении, как исследователи, результаты работ которых должны были быть применены к любым величинам, независимо от того, можно ли их представить числами (т. е. рациональными числами), или нет. Правда, Диофант заимствует свою терминологию из мира геометрических представлений, говоря, например, прямоугольник вместо произведения и т. д., но рассматриваемые им величины представляют все же только числа. Это видно хотя бы из того, что он не соблюдает геометрической однородности, складывая, например, спокойнейшим образом сторону с площадью.
Диофант даже настолько не придает значения общей форме, что, когда в какой-нибудь задаче говорится общим образом, что известное число должно иметь данное значение, он немедленно же приписывает ему определенное числовое значение, с которым. и продолжает затем свои выкладки. Этот метод не дает, конечно, решения поставленной общей задачи, — если только не невозможно, на основании выбранного автором примера, вывести способа,. каким следует пользоваться в общем случае; впрочем, это и имеег -чаще всего место.
Надо заметить, что целью Диофанта является общее решение; но, не имея символа для обозначения известного, однако произвольного числа, он вынужден прибегать к определенным специальным значениям. Поэтому, когда для решения не годится любое число, он формулирует явно в виде диоризма необходимое ограничение. Часто также он пользуется каким-нибудь специальным значением, как пробным значением искомой неизвестной;-если оно оказывается неподходящим, то, перебирая ход выкладок, он может найти, как следует видоизменить взятое пробное значение, чтобы притти, наконец, к данной форме или к данному значению другого количества. Правило ложного положения (re-gula falsi), которое мы встретили уже у египтян, является лишь весьма простым случаем применения этого метода; Диофант, с своей стороны, пользуется им в гораздо более сложных случаях.