Могло бы казаться, что этот недостаток символов для обозначения неизвестных влечет за собой особенные трудности при решении неопределенных задач. В действительности это не так, ибо обыкновенно в задачах этих требуется в очень общих выражениях, чтобы некоторая составная величина была квадратом или чем-нибудь подобным, а тогда нет никакой нужды в специальных обозначениях для квадратного корня этой величины и т. д.
В арифметическом творчестве Диофанта величайшего внимания заслуживают именно эти неопределенные задачи, для которых необходимо найти рациональные решения. Вообще говоря, Диофант старается найти какое-нибудь одно решение задачи, не отыскивая общего решения ее, которое включает в себе все возможные частные решения; но не следует придавать особенного значения этому факту, если желать понять полученные Диофантом результаты, ибо его частные решения заключаются лишь в том, что он сейчас же придает определенные значения вспомогательным количествам, служащим для решения задачи. В этих случаях — как, впрочем, и в других, упомянутых выше, — он, конечно, не мог не заметить, что эти вспомогательные количества способны принимать и другие значения, кроме тех, которые он им приписывает. В этом можно в особенности убедиться тогда, когда он принимает, что образованная определенным образом величина должна быть квадратом и одновременно с этим выполнять другое условие, ибо в этом случае недостаточно придать определенное значение вспомогательной величине, которая приводит к квадрату. Наоборот, эта величина становится сама неизвестной величиной х, посредством которой Диофант должен вообще выразить первоначальные искомые величины, чтобы затем определить х с помощью второго заданного условия.
Издатель Диофанта в XVII в. Баше де-Мезириак (Bachet de Meziriac) в связи с названными задачами исследовал сам вопрос о целочисленных решениях. Впрочем, мы увидим, что индусы решили полностью эту задачу еще до него.
Возникает вопрос, что, собственно, в труде Диофанта является; продуктом его самостоятельного творчества, а что принадлежит другим исследователям? К сожалению, у нас мало данных для ответа на этот вопрос. Мы указали, что в эпоху создания греческой математики ученые занимались уже вопросами того же самого рода, которые исследовал Диофант, и если имеется так мало следов этого в сохранившихся до нас работах этих ученых» то потому, что по самому характеру этих работ в них не была места для вопросов названного рода. Тем не менее, я не думаю,
чтобы ряд задач Диофанта мог относиться к этой эпохе, ибо, судя по общему впечатлению, греческие математики периода наивысшего расцвета математики не обладали тем искусством в вычислениях, которое поражает нас у этого автора. С другой стороны, столь обширное собрание разнообразнейших задач, каким является труд Диофанта, не может, конечно, быть продуктом творчества одного человека. Поэтому правильнее всего предположить, что задачи эти возникли еще в самую раннюю пору,, вероятно, вскоре после открытия иррациональных количеств; в дальнейшем они продолжали накопляться даже после эпохи,, когда основной массив греческой математики перестал развиваться, может быть, даже до времени Диофанта, со своей стороны значительно приумножившего это собрание.
Таким образом мы имеем здесь перед собой непрекращающееся развитие одной обособленной отрасли математики. Эта зависело, без сомнения, от того, что мало-по-малу развилось столь важное для этой отрасли искусство в вычислениях, отчасти в связи с потребностями астрономии, отчасти благодаря соприкосновению греческой культуры с культурой другого народа,, индусов.