Астрономо-тригонометрические исследования распространились повсюду, вплоть до самых западных окраин мусульманского мира, где в XL в. Джабир ибн Афла (Djabir ibn Aflah) из Севильи, известный под именем Гебера (Geber), написал большой астрономический труд. Трактат этот отличается от предшествующих ему трудов тем, что для большинства употребляемых в нем тригонометрических предложений даются иные доказательства, чем имеющиеся у Птолемея. Кроме того, Гебер, найдя новое соотношение между двумя углами и стороной, дополнил формулы Птолемея, относящиеся к прямоугольному сферическому треугольнику. Отношение это он устанавливает посредством употреблявшейся уже Птолемеем фигуры (фиг. 29), в которой DEF представляет большой круг, имеющий полюсом вершину угла Л прямоугольного (в В) треугольника ABC. У прямоугольного же треугольника DEC угол С общий с треугольником ABC, a DE=-- 90°— А. CD = 90° — g, откуда следует, что cos A = cos a • sin С. Это предложение носит имя Гебера.
Вернемся, однако, к Багдаду, где тригонометрии предстояло занять более самостоятельное и независимое от астрономических применений положение. Исследователи стали заниматься изучением плоских и сферических треугольников самих по дебе. Большое значение приобрели теперь различные решения задач на определение по трем элементам треугольника (сторонам и углам) остальных элементов его. Одним из первых шагов в этом направлении было установление теоремы о пропорциональности в сферическом треугольнике синусов сторон синусам противолежащих углов, теоремы, автором которой был, может быть, Абуль Вафа или один из его современников.
Общий итог работ арабов в этом направлении дан нам в одном сочинении Нассир Эддина по плоской и сферической тригонометрии, ставшим известным в Европе по французскому переводу только в последнее время. Его название: „Трактат о четыреугольнике" объясняется тем, что исходным пунктом всего труда является полный четыреугольник Менелая.
Для нас нет интереса останавливаться на вопросах плоской тригонометрии, а также на способах решения множества главных задач сферической тригонометрии. Так, вышецитированная теорема о синусах выводится в общем случае легко из частного случая прямоугольного треугольника: для этого надо треугольник разделить на два прямоугольных треугольника. Поэтому мы ограничимся лишь тем, чго покажем, как Нассир Эддин решает некоторые более трудные задачи.