Возможно, что пифагорейские изыскания в области теории чисел являлись частично продолжением мистических выкладок вавилонян; но наряду с этим им удалось добиться составления квадратных уравнений, свободных от иррациональных корней.
В исследованиях общего порядка нельзя избегнуть иррациональных величин; благодаря этому прежние математические методы оказались не вполне надежными, и большой заслугой пифагорейцев является т о, что они заметили это.
С пропорциями тогда были уже хорошо знакомы, и, вероятно, уже с ранних пормими пользовались в том или ином виде. Но до Эвдокса речь могла итти лишь о равенстве отношений между целыми числами или о равенстве этих отношений отношениям между геометрическими величинами, которые, следовательно, должны были быть соизмеримыми; в ходу были простые арифметические действия, как, нап имер, умножение; по примеру египтян, знали,что прямоугольник равен произведению сторон, причем единицей площади являлся квадрат, построенный на единице длины; но если стороны прямоугольника несоизмеримы, то не только нельзя применить доказательства путем деления прямоугольника на квадраты, но и сама теорема теряет всякий смысл, ибо представление о произведении, как им пользуются в обычном исчислении, не вяжется с тем, что множители этого произведения являются иррациональными числами.
Это затруднение пифагорейцы, а за ними греческие математики преодолели путем геометрического представления величин вообще. На первый взгляд преимущества такого геометрического представления могут показаться ничтожными, ибо любой отрезок обладает такой же определенной величиной, как и взятое произвольное число, но, в действительности, нарисованная фигура служит лишь материальным знаком для выражения понятия фигуры, а здесь величины могут принимать все значения, совместимые с требованиями такого понятия. Так, представление величины длиной отрезка может, подобно буквам в алгебре, применяться к величинам, изменяющимся непрерывным образом.
Греки, без сомнения, не имели никакого представления об отрицательных количествах, а также о количествах мнимых. Но за отсутствием первых изменения геометрической фигуры могут до известной степени позволить те же обобщения, которые мы получаем в настоящее время с помощью отрицательных величин.