Отсюда ясно, что действия над количествами, представленными геометрическим образом, играют роль, аналогичную нашим алгебраическим операциям. Соответственно с этим мы назовем „Геометрической алгеброй" теорию этих операций, и мы ее изложим здесь в том виде, в каком мы ее знаем на основании отчасти второй книги эвклидовых „Начал", отчасти приложений, которые делали из нее всегда греческие математики, главным образом там, где мы теперь пользуемся уравнениями второй степени. Геометрическая алгебра служит как у Эвклида, так и у других математиков для столь многочисленных исследований, что одно это является уже доказательством ее глубокой древности котор\ю мы ей приписываем в соответствии с сообщением о знакомстве пифагорейцев с приложением площадей. Легкость применения ее к любым величинам, как рациональным, так и иррациональным, а следовательно, ее абстрактный характер отлично согласуются со словами Эвдема о нематериальном подходе Пифагора к геометрии.
Возможно, однако, что этот абстрактный характер не был первоначально столь явным и сознательным, как это оказалось во времена Эвдема и как это наблюдается у Эвклида. Наоборот, естественно допустить — и это находится в полком согласии с тем, что нам сообщают насчет установления пифагорейцами связи между геометрией и арифметикой — естественно допустить, что геом три-ческая интерпретация целых исел, являющаяся у Эвклида приложением геометрической алгебры, хронологически предшествовала самой этой алгебре.
Начав с геометрического представления свойств целых чисел, впоследствии убедились, что этот способ представления также легко применим, вообще, к непрерывным величинам; но это, вероятно, заметили лишь мало-помалу. Поэтому мы начнем прежде всего с рассмотрения геометрической арифметики греков, как с введения к их геометрической алгебре.