Таким образом древние, как мы видим, рассмотрели все виды уравнения второй степени, дающие положительные корни, а о других у них не могло быть и речи, поскольку им было совершенно чуждо представление об отрицательных количествах. Для данного нами здесь геометрического решения мы предположили, что известный член — являющийся из соображений однородности всегда площадью — задан в виде квадрата; в таком случае решение получается с помощью так называемой пифагоровой теоремы. Теорема эта — частные случаи которой, несомненно, были известны египтянам — приписывалась Пифагору, но мы ничего не знаем о способе, каким он доказал ее. Возможно, что в своем доказательстве он опирался на подобие треугольников. В таком случае, при тогдашнем состоянии теории пропорций, она могла быть точной лишь тогда, когда стороны были соизмеримы; действительно, лишь в это время начали вводить геомефические построения общего характера, и именно Эвклид, как нам эго определенно сообщают, был, повидимому, подлинным автором общего доказательства, приводимого в книге I, 47 „Начал".
Так как Эвклид доказывает, что квадрат, построенный на одном катете, равен прямоугольнику (т. е. произведению) из проекции этого катета на гипотенузу и всей гипотенузы, то весьма вероятно, что в старом доказательстве, которое он желал заменить своим, пользовались соответствующими теоремами о средних пропорциональных.