Так как Эвклид доказывает, что квадрат, построенный на одном катете, равен прямоугольнику (т. е. произведению) из проекции этого катета на гипотенузу и всей гипотенузы, то весьма вероятно, что в старом доказательстве, которое он желал заменить своим, пользовались соответствующими теоремами о средних пропорциональных.
Что касается преобразования какой-нибудь фигуры в квадрат, преобразования, которым должны были пользоваться либо для того, чтобы придать уравнениям приведенную нами выше форму, либо чтобы построить, не прибегая к пифагоровой теореме, величину, представляемую в современном решении квадратным корнем, то пифагорейцам определенным образом приписывают знакомство с следующей задачей:
Построить фигуру, равновеликую данной фигуре и подобную другой фигуре. Во всяком случае, речь здесь могла итти только о прямолинейных фигурах, а в интересующем нас частном случае вторая фигура это квадрат; более общая форма задачи имеется в „Началах" (VI, 25), где Эвклид пользуется ею для своих обобщенных приложений площадей. Один позднейший автор, приписавший пифагорейцам знакомство с задачей в этом последнем виде, хотел этим дать понять, что пифагорейцы обладали предпосылками, необходимыми для приложения площадей; но простое приложение площадей требует лишь преобразования фигуры в квадрат.