Ряд теорем восьмой книги „Начал" введен, вероятно, первоначально с этой целью; это относится, например, к шестой теореме, утверждающей,—хотя и в другой форме, — что степень несократимой дроби должна быть, в свою очередь, несократимой дробью. Таково, во всяком случае, общее доказательство, которым пользовались впоследствии, как это видно из комментария Эвтокия к Архимеду.
Однако Эвклид в десятой книге „Начал" дает еще общий способ проверки рациональности какой-нибудь величины или, — что сводится к одному и тому же—-соизмеримости двух величин. Способ этот сводится к тому же алгорифму, с помощью которого находят общую наибольшую меру двух величин. Представив эти величины с помощью двух отрезков, наносят меньший из них b на больший до тех пор, пока не получится остаток с, меньший Ь, затем таким же образом наносят с на b и т. д.; если операцию приходится продолжать до бесконечности, то сравниваемые величины несоизмеримы. Этим способом легко убедиться, что отрезок, разделенный в среднем и крайнем отношении, дает два отрезка, несоизмеримые между собой и с первоначальным целым отрезком.Так как корни уравнений второй степени в случае несоизмеримости их с заданными величинами не могут быть выражены точным образом с помощью этих величин, то понятно, что греки в своих точных вычислениях не вводили никаких приближенных значений, а только продолжали действия с найденными количествами, изображенными отрезками, которые получались при построении, соответствовавшем решению задачи. По существу мы поступаем таким же образом, когда вместо вычисления корней мы довольствуемся выражением их с помощью знаков квадратного корня или других алгебраических символов.