Эвклидовы „Начала" состоят из тринадцати книг, к которым в большинстве изданий присоединяют, в качестве четырнадцатой книги, одну работу Гипсикла и, в качестве пятнадцатой, один еще более поздний и представляющий меньшее значение труд.
Первая книга содержит важнейшие предложения о сторонах и углах треугольников, о построении треугольников, о перпендикулярных и параллельных прямых, о параллелограмах и их площадях, а также о площадях треугольников. Во второй книге содержатся уже изложенные выше принципы геометрической алгебры. В третьей излагаются теория круга, прямых и образуемых ими углов внутри круга, а также теорема о степени точки по отношению к окружности. В четвертой книге говорится о вписанных и описанных многоугольниках, в частности, о построении правильного треугольника, четыреугольника, пятиугольника,, шестиугольника и десятиугольника.
Нет сомнения, что личный вклад Эвклида в этих книгах сводился, главным образом, к расположению и более точному, чем до него, изложению всего этого известного уже его предшественникам материала, согласно с строгими логическими требованиями, выработавшимися к его времени у греческих математиков. Но к этому, несомненно, присоединилась и творческая, в тесном смысле слова, математическая работа. Действительно, пропорции, как мы уже видели, употреблялись в геометрии еще до зарождения точной теории пропорций у Эвдокса. Когда в отдельных случаях приходилось прибегать к теории пропорций, основанной исключительно на теории рациональных величин, то неважно было, найдут ли свое место в системе эти приложения несколько раньше или позже. Но Эвклид уже был знаком с теорией Эвдокса о пропорциях, и так как она по своей новизне не могла найти места в начале системы, то он отложил ее до пятой книги. Поэтому до пятой книги следовало избегать какого бы то ни было, явного или скрытого, употребления пропорций и подобия, и весьма вероятно, например, что именно соображения этого рода заставили Эвклида — как мы уже указывали вкратце выше — придумать то доказательство пифагоровой теоремы, которое имеется в конце первой книги „Начал".
Чтобы читатель понял, как можно было добиться таких результатов без учения о пропорциях, я напомню, что с помощью геометрической алгебры доказываются теоремы о степени точки до отношению к окружности (III, 35 — 37). Теоремы эти употребляются для построения равнобедренного треугольника, в котором угол у вершины равен половине угла у основания (IV, 10), причем оказывается, что основание является тогда стороной правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность, что и данный треугольник (IV, 11).
В пятой книге излагается теория пропорций Эвдокса, а в шестой— приложения ее к геометрии и к расширению области геометрической алгебры. Здесь снова появляются задачи о построении средних пропорциональных и о делении отрезка в среднем и крайнем отношении, решенные уже во второй книге с помощью ресурсов геометрической алгебры, но теперь они решаются (VI, 13 и 30) с помощью теории пропорций.
Мы не знаем, какие из содержащихся в этих книгах теорем и доказательств принадлежали Эвдоксу и какие связаны были раньше с менее развитой теорией пропорций. Но, во всяком случае, Эвклиду принадлежит честь систематического расположения всего этого материала.
Однако он не включил сюда специальной теории рациональных величин и целых чисел, посредством отношений которых выражаются эти величины. Теорию эту он излагает в VII—IX книгах, т. е. после общей теории пропорций, но не основывая ее на последней. Доказательства здесь, вероятно, те самые, какими пользовались до Эвдокса, но результаты которых распространили затем на иррациональные величины.