Что касается иррациональных величин, то они, в свою очередь, рассматриваются в десятой книге. Здесь находится и классификация их, начатая Теэтэтом , но законченная Эвклидом. Наиболее самостоятельная часть работы Эвклида заключалась, несомненно, в этом и в применении указанной классификации к определению ребер правильных многогранников.
Но эта последняя задача предполагала развитие учения об элементарной стереометрии, составляющего содержание одиннадцатой книги. Здесь вычисление объема пирамиды требует обращения к доказательству с помощью бесконечно-малых и пределов, которое получают в замаскированном виде посредством эвдоксова метода исчерпывания, употребляемого с этой целью в двенадцатой книге, но предварительно использованного для доказательства теоремы, что площади двух кругов пропорциональны квадратам, построенным на их диаметрах. Определение элементов правильных многогранников дается только в тринадцатой книге.
Нетрудно видеть, что однородные вопросы, как, например, теория иррациональных величин, и сходные методы, как приложения доказательства с помощью исчерпывания, до известной степени объединены между собой. Однако объединение это является, отчасти, результатом предшествующего исторического развития; для Эвклида во всяком случае оно имеет второстепенное значение и подчинено следующим соображениям: в связи со строгими логическими принципами, развитыми в предыдущую эпоху и усовершенствованными, отчасти, самим Эвклидом в его труде о ложных заключениях, самым важным для него была логическая неуязвимость всего его труда, неуязвимость, гарантировавшаяся, как мы видели, в случае каждой частной задачи или теоремы синтетическим изложением. Но, кроме того, требовалось расположить — ив каждой отдельной книге, и во всем труде в целом— задачи и теоремы таким образом, чтобы основа и материал для каждой новой теоремы (или задачи) доставлялись уже предыдущими теоремами и задачами. Руководясь этим принципом, Эвклид не позволял себе пользоваться даже серединой отрезка в каком-нибудь доказательстве, прежде чем он не доказал заранее ее существования путем построения.
Такую совокупность положений, такую связь, при которой идут от известного к неизвестному, как в случае синтетического доказательства какой-нибудь отдельной теоремы, т. е. при которой поднимаются от простого и частного к сложному и общему, мы назовем синтетической системой, хотя мы не находим в древности никаких оправдательных документов для такого наименования. В подобной системе особенный интерес представляют исходный пункт и заключение.