В синтетической системе известного внимания заслуживают не только предварительные гипотезы, но и заключение ее, ибо все предшествующее ему носит как будто характер необходимых для этого заключения предпосылок. Эвклид, как мы уже говорили, заканчивает свои „Начала" определением ребер правильных многогранников и вытекающим отсюда построением последних, однако, это, безусловно, не являлось его единственной целью, ибо в ходе своей работы он касался многих вопросов, не имеющих ни прямого, ни косвенного отношения к правильным многогранникам. Правильнее сказать, что он заложил общую основу для будущих математических исследований, и, несомненно, к этому Эвклид и стремился. Но так как построение правильных много гранников как бы венчает труд Эвклида, то под влиянием этого еще с ранних пор стали включать в „Начала" в качестве четырнадцатой и пятнадцатой книги исследования других авторов об этих многогранниках.
Если рассматривать первую книгу „Начал" самое по себе, то речь в ней идет о нахождении того, что логически необходимо для установления геометрической алгебры, развитой во второй книге. Основанием этой алгебры являются заэершающие первую книгу теорема о гномоне (I, 43), и пифагорова теорема (I, 47). Однако, наряду с главной целью, преследуется и другая вспомогательная задача, именно, теорема (32) о сумме углоБ треугольника, которая необходима для главной цели и которую Эвклид связывает в средине этой книги с теорией параллельных. Наряду с этим, в книге имеется еще ряд теорем о взаимном расположении прямых линий, о перпендикулярных и параллельных прямых с соответствующими построениями, о равенстве и построении треугольников и о зависимости между равенством ш неравенством сторон и углов. Все это представляет не вполне обозримую смесь разных положений, являющуюся, однако, результатом логически надежного метода, согласно которому теоремы воздвигаются друг на друге. Упомянем, например, что теоремы о равенстве треугольников даны в предложениях 4, 8 и 26; в то же время Эвклид нисколько не интересуется вопросом о равенстве треугольников, у которых равны один угол, одна прилежащая к нему сторона и сторона протцволежащая; действительно, ему нечего делать с подобными теоремами. В шестой книге, где х>н собрал теоремы о подобии треугольников, он останавливается на соответствующем случае подобия. В конце книги даны теоремы о равенстве площадей в более тесной связи друг с другом.