Гипотезы, на которых основывается у Эвклида геометрия, содержатся в определе-лениях, поаулатах и аксиомах различных книг „Начал".
Особенный интерес представляют гипотезы первой книги, ибо вместе с полученными из них постепенно результатами они являются основой гипотез других книг. Поэтому мы остановимся на них, дополнив их, однако, сейчас же некоторыми из других гипотез, вводимых в дальнейшем. Что касается гипотез, имеющих отношение к некоторым частным теориям, как, например, теория пропорций, то их мы коснемся лишь в связи с самими этими теориями.
При первом знакомстве с определениями, постулатами и аксиомами Эвклида должно, несомненно, показаться, что они нисколько не удовлетворяют требованиям формы и логической строгости, выдвинутым, как мы сказали, древними. Так, например, можно убедиться, что различные определения не говорят ровно ничего об определяемом предмете и нисколько не гарантируют того, что существует, действительно, некоторый объект, отвечающий определениям.
Определение прямой линии можно, по существу, заменить такого рода утверждением: существует известный вид линий, которые -называются прямыми. Чтобы узнать, к какому сорту линий относятся прямые, т. е. каковы те свойства линий, которые мы употребили бы в настоящее время для этого определения, надо обратиться к постулатам, содержащим гипотезу, что прямая линия обладает такими-то и такими-то свойствами. Что касается самих постулатов и аксиом, то они часто сформулированы с крайней сжатостью, превращающей их в настоящие загадки и резко контрастирующей с обстоятельным и подробным изложением всего, имеющего отношение к теоремам и чисто математическому доказательству их.
Надо заметить, что математик относит к числу определений, постулатов и аксиом все те гипотезы, которые он считает необходимыми в своей области и, делая это, он не объясняет ни как, ни почему так надо поступить. Обязанность математика дать предварительно полный перечень того, что он хочет предположить, но он должен сделать это с достаточной ясностью так, чтобы в случае необходимости пользоваться этими предположениями он обращался только к тому, к чему он имеет право прибегать. Однако его совершенно не касается вопрос об абстрак-циях, побудивших его установить предварительные понятия и приписать им в постулатах и аксиомах определенные свойства, а также и вопрос о предварительном доказательстве того, что он им не приписал ни слишком много, ни слишком мало свойств. В качестве математика он отвечает только за одно,—именно, за то, что всякого, принимающего эти гипотезы, он заставит при помощи правильных дедукций принять также и все, что он сам выведет из этих гипотез. Таким образом только практика может показать, что он сделал достаточное количество гипотез. Нельзя дать такого же прямого доказательства того факта, что число сделанных им гипотез излишне велико. Но если он уже сделал эту ошибку, то он может ожидать, что другие ему докажут, что некоторые из его гипотез противоречивы или же могут быть выведены друг из друга.
Чтобы правильно разобраться в вопросе о геометрических гипотезах, явно высказанных древними—в особенности Эвклидом— надо рассмотреть, каковы они, а не останавливаться на вопросе о недостатке данных насчет их происхождения или на вопросе о форме, в которой они изложены. Тогда можно убедиться, что они совпадают с теми гипотезами, на которых в настоящее время основываем геометрию и мы и что изложены они с достоверностью и полнотой, позволяющими им быть образцом для исследователей, которые захотели бы частично дополнить или видоизменить их. Однако, чтобы дать возможность вполне понять их, нам придется кое-где внести незначительные изменения в недостаточную (по крайней мере, на современный взгляд) форму изложения некоторых из них.