Начнем с определений, требующих некоторых замечаний.
Точка определяется своей неделимостью (I, опред. I). Затем переходят к линии, определяемой как длина без ширины (I, 2), к поверхности, имеющей длину и Ширину (1,5), и к телу, имеющему длину, ширину и толщину (XI, 1).
Эти определения нисколько не выясняют вопроса о том, как приходят к понятиям точки, линии, поверхности и тела, но как гипотеза, на которой приходится строить, они предполагают, что мы уже обладаем этими понятиями и что мы понимаем, что значит приписывать то^ке 0 измерений, линии 1 измерение и т. д.; это предполагает также, что мы понимаем, что линия есть геометриче:кое место точек, поверхность и тело—геометрические места линий и поверхностей.
Чтобы притти реальным образом к этим понятиям, идут обыкновенно не синтетическим путем от точки к линии, поверхности и телу, но обратным аналитическим путем, начиная с тела, как с чего-то непосредственно данного, рассматривая затем поверхность как границу тела и т. д. Между прочим, древние были знакомы и с этим обратным путем, как это видно из другого ряда определений (XI, 2, I, 6 и I, 3), которые, не являясь у Эвклида новыми определениями поверхности, линии, точки, указывают, просто, каковы границы тела, поверхности и линии.
Я уже заметил мимоходом, что объяснения того, что такое прямая линия, следует искать не в определениях, а в постулатах в связи с одной из аксиом. Точно так же лишь в постулатах установлено существование круговой линии, между тем как предшествующие этим постулатам определение (I, 15), повиди-мому, говорит слишком многое об ее свойствах. Действительно, в этом определении говорится не только то, что все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра, но оно указывает еще, кроме того, что круг сам есть фигура, т. е. часть плоскости, ограниченная окружностью, и что центр расположен внутри этой последней. Хотя в определении не говорится, что окружность должна содержать все точки, обладающие первым из вышеуказанных свойств, но все же первое указание дает ценное средство для различения между всей окружностью и дугой ее, и благодаря этому оно имеет право остаться среди определений. Мы увидим, впрочем, что если бы эти указания не нашли места здесь, то их пришлось бы внести в той или иной форме в число постулатов.
Наоборот, определение диаметра круга (I, 17) содержит добавление, безусловно, излишнее не только для определения, но и, вообще, как гипотеза; в нем говорится не только, что диаметр проходит через центр, но еще — что он делит круг на две равные части, но это последнее утверждение есть предложение, которое доказывается путем наложения друг на друга обеих частей, на которые делится диаметром круг. Впрочем, возможно, что это добавление вставлено в определение каким-нибудь позднейшим издателем „Начал", ибо оно не применяется у Эвклида ни в какой теореме.