Если так понимать смысл постулатов, то ясно, что недостаточно допустить существование определенных простейшим образом прямых линии и кругов. Для выполнения геометрических построений приходится находить посредством пересечения различных линий точки, которые могут служить в дальнейшем для нахождения новых линий. В таком случае приходится постулировать существование точек пересечения на таком же основании, как и существование этих линий, ибо оно не может быть следствием последнего. Вот почему в пятом постулате высказывается в явном виде новая гипотеза, что две прямые пересекаются; но, чтобы утверждение это было истинным, приходится сделать необходимые ограничения, играющие здесь ту же роль, какую играет диоризм в случае задачи. Если бы мы не постулировали «а основании пятого постулата существование точки пересечения, то решения задач, в которых пользуются точками пересечения прямых линий, не дали бы, вообще говоря, доказательств существования построенных фигур, доказательств, которые должны были бы быть существенным результатом построений.
Если эти соображения верны, то недостатком является отсутствие постулатов, утверждающих существование точек пересечения прямой с окружностью или двух окружностей между собой. Разумеется, точное разграничение случаев, когда пересечение имеет фактически место, требует уже развития ряда теорем, и возможно, что Эвклид отказался установить указываемые постулаты, потому что он не мог произвести этого разграничения тотчас же со всей требуемой общностью. Но, во всяком случае, для того чтобы можно было пользоваться общим образом кругом для построений, необходимы все же некоторые гипотезы насчет его пересечения с прямой и другими кругами. Каковы же гипотезы, которыми пользуется здесь Эвклид? Мы постараемся это выяснить на основании тех приложений, которые он делает из них.
Действительно, мы видим (теорема I. 12), как, желая убедиться, что окружность с заданным центром пересекает некоторую прямую, он проводит эту окружность через какую-нибудь точку, расположенную по ту сторону этой прямой от центра, и как он считает очевидным (теорема 1), что два круга, центры которых расположены на окружностях друг друга, пересекаются в двух точках и точно так же (теорема 22) что окружность, проходящая через точку, расположенную внутри другой окружности, и вместе с тем через точку, находящуюся вне ее, пересекает эту вторую окружность. Из приводимых здесь мест „Начал" ясно, что он опирается на эти гипотезы; в других случаях он не утверждает ничего о пересечении окружности с прямой или с другой окружностью, не доказав предварительно существования этого пересечения.
Можно ли теперь утверждать, что в явно формулированных Эвклидом гипотезах нет ровно ничего насчет гипотез, которыми он пользуется фактически в цитированных местах „Начал" и, в частности, в теореме 12,— и пользуется при этом, очевидно, вполне сознательно? В постулатах, действительно, нет ничего. Но, как мы уже указывали, различие между постулатами и определениями не настолько резко, чтобы можно было ограничиться анализом только первых. Ясно поэтому, что Эвклид может для оправдания пользования этими гипотезами указать на определения, в которых говорится, что круг—это фигура, заключающая в себе центр, откуда следует, что окружность пересечет достаточно продолженную прямую линию в двух точках, если, конечно, ее центр находится по одну сторону этой прямой и если она проходит через точку, расположенную по другой стороне ее, и что она точно так же пересечет другую окружность, если она соединяет какую-нибудь внутреннюю точку с точкой внешней. Заметим, между прочим, что в известных случаях можно таким же образом доказать пересечение прямых линий, не прибегая к пятому постулату и принимая только во внимание, что периметры многоугольников тоже ограничивают площади конечных размеров. Эвклид пользуется этим приемом в I, 21.