Остается объяснить, как нашло себе место среди постулатов утверждение, что все прямые углы равны.
Из аксиом следует, что если углы при наложении совпадают, то они равны, в противном случае они неравны. Утверждение о равенстве всех прямых углов, таким образом, тождественно с утверждением, что все прямые углы при наложении совпадают. Но так как по определению (определение 10) прямой угол—это угол, равный смежному с ним углу, то сущность постулата сводится к утверждению, что угол, образуемый прямой и ее продолжением, имеет определенную величину или же, что продолжение какой-нибудь данной прямой за один из ее концов однозначно определено. Это, именно, и хотел сказать Эвклид своим постулатом,— в чем нетрудно убедиться, заметив, что постулат фактически применяется именно таким образом (см. доказательство теоремы 1,14).
Таким образом четвертый постулат оказывается лишь дополнением ко второму и утверждает, что содержащееся в этом втором постулате нахождение (Bdetermination) продолжения прямой линии однозначно; именно поэтому он и помещен среди постулатов, а не среди аксиом.
Впрочем, современный читатель, привыкший обращать внимание на число решений, не почувствовал бы отсутствия такого постулата, ибо он немедленно подумал бы, что однозначность уже подразумевается вторым постулатом. Но так как, в конце концов, этот четвертый постулат существует, то приходится пожалеть об отсутствии другого постулата, который содержал бы утверждение, что данное в первом постулате нахождение прямой линии тоже однозначно. Эвклид открыто пользуется этой однозначностью в теореме 1,4, в которой для своего доказательства он прибегает к аргументу, „что две прямые линии не могут заключать между собой пространство"; но это утверждение, абсолютно тождественное утверждению, что первый постулат однозначен, не встречается среди установленных гипотез. Это, несомненно, непоследовательность, которую заметили уже в древности; под влиянием ее издатели „Начал" включали явно употребленную в I, 4 гипотезу либо в число постулатов, к которым она относится с тем же основанием, что постулат I, 4, либо, впоследствии, в число аксиом. Этот новый постулат выражает, кроме того, что нахождение точки, как точки пересечения двух прямых на основании пятого постулата, однозначно.
Наоборот, нет нужды предполагать однозначности третьего постулата о нахождении круга посредством центра его и радиуса. Действительно, здесь мы можем снова воспользоваться тем фактом, что уже в определениях круг определен (determine) более полным образом, чем прямая линия. Эвклид в состоянии благодаря этому доказать в теоремах III, 5 и 6, что концентрические окружности не могут ни пересекаться, ни касаться и что, таким образом, полное геометрическое место точек, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой данной точки, сводится исключительно к одной замкнутой кривой, или, иными словами, что третий постулат дает только одну окружность.