Первый элемент понятия равенства дается первой аксиомой: величины, равные одной и той же величине, равны между собой. Наличие слова равный в объяснении понятия равенства не лишает это объяснение ценности: в этом можно убедиться, заметив, что нельзя в даваемом аксиомой объяснении заменить слово равный словом неравный. Однако его недостаточно для получения пригодного понятия о величинах, ибо к этому надо еще прибавить, что величина не изменяется, если ее разделить и затем обратно сложить ее части. Этой стороне дела посвящены аксиомы 2 и 3, согласно которым равное, прибавленное или вычтенное из равного, дает равное. Но чтобы иметь возможность рассматривать также неравное, надо еще указать, что если при обратном сложении берут не все части величины, то получают нечто меньшее; это и утверждает аксиома 8: целое больше части.
Эти же самые аксиомы содержат в общем виде объяснения сложения и вычитания величин: в них, кроме того, содержится утверждение, что порядок членов суммы безразличен для результатов сложения.
Если в одном современном учебнике арифметики мы находим следующее определение идеи величины: „о свойствах предметов, которые не изменяются, если собрать их части в различном порядке, но изменяются, если отнять от них некоторые части, говорят, что они обладают величиной", — то определение это вполне совпадает с приведенными выше аксиомами „Начал", с тем даже преимуществом у последних, что они несколько более непосредственно выясняют значение понятий равный, больший или меньший.
Это общее понятие величины должно быть дополнено некоторыми частными признаками, делающими возможным применение его к различным видам величин, как, например геометрические величины, веса и т. д., а также чисто отвлеченные числовые величины. Эвклид, для которого геометрическая величина есть отвлеченная величина, ибо она служит ему в геометрической алгебре для изображения всякого рода величин, даже чисел, должен, прежде всего, дать признак равенства геометрических величин; это он делает в 7-й аксиоме первой книги, которой мы сейчас займемся. Только в пятой книге он дает непосредственное представление отвлеченных величин, как отношений, а также признаки их равенства и неравенства.