Отношения к единице представляют числа в современном общем смысле слова, но единица появляется только в седьмой книге и употребляется в ней лишь как мера соизмеримых величин; поэтому гипотезами, связанными с этой проблемой, мы займемся при специальном рассмотрении в дальнейшем этих книг.
После этих немногих замечаний о различных приемах определения (estimation) величины мы должны вернуться к вопросу о геометрическом определении их, содержащемуся в 7-й аксиоме первой книги. Здесь говорится, что конгруэнтные величины, т. е. величины, совпадающие при наложении, равны между собой; признак геометрического равенства здесь предшествует естественным образом признаку неравенства, содержащемуся в 8-й аксиоме и не требующему никакого специального дополнения по отношению к геометрическим величинам. В 7-й аксиоме Эвклид отмечает с большой уверенностью то, что должно быть исходным пунктом всякого исследования геометрической величины. Уже на практике измерения пользуются в качестве такого исходного пункта конгруэнтностью, отсчитывая число частей измеряемой величины, конгруэнтных с мерой; на конгруэнтность же опирается система Эвклида, а также все следовавшие за ней системы, в которых говорится о геометрических величинах. Равны между собой конгруэнтные величины, не равны величины, из которых одна есть лишь часть другой или конгруэнтна с этой частью.
Этим же самым способом пользуется Эвклид в первой книге, желая показать взаимную зависимость равенства и неравенства сторон и углов одного и того же треугольника или различных треугольников; получаемые им таким образом результаты комби-нируются затем с общими гипотезами о величинах. Он старается даже возможно меньше пользоваться специфически геометрическим принципом конгруэнтности: так в I, 26 для доказательства того, что у треугольников с равными сторонами и двумя равными прилежащими к ним углами равны все элементы их, он не прибегает непосредственно к конгруэнтности, а выводит это антитетически на основании предшествующих случаев конгруэнтности.
Для прямых линий и для углов равенство тождественно конгруэнтности, но для ломаных линий, площадей и объемов равенство может существовать и без конгруэнтности; для доказательства равенства здесь приходится комбинировать между собой конгруэнтные части, согласно общим гипотезам о величинах. Первый пример этого встречается в „Началах". I, 35, когда Эвклид доказывает, что параллелограмы с одинаковыми основаниями и высотой равновелики.
Но только путем перехода к пределу можно установить вели-чину кривых линий и поверхностей, величину плоской поверхности, ограниченной кривыми, а также величину большей части объемов: для получения их древние пользовались методом исчерпывания, причем приходилось вводить, отчасти, новые гипотезы. Мы это увидим при рассмотрении двенадцатой книги Эвклида, а также при анализе трудов Архимеда.