Зато мы должны тут же заметить, что способ применения Эвклидом в стереометрии аксиомы конгруэнтности, установленной им в 7-й аксиоме, содержит очень существенный пробел, а именно, полное отсутствие различения в его стереометрии между кон-груэнтностью и симметрией. Но ясно, тем не менее, что Эвклид не считает конгруэнтными симметрические фигуры, ибо в этом случае он считал бы, что 7-я аксиома является достаточной основой для определения объемов. Между тем, он устанавливает новую гипотезу, которая годится как для конгруэнтных, так и для симметрических фигур. Согласно 10-му определению одиннадцатой книги равны и подобны пространственные фигуры, ограниченные одним и тем же количеством равных и подобных (т. е. конгруэнтных) плоских фигур. Это определение содержит—кроме введения терминов — определенную геометрическую гипотезу, следовательно, аксиому,— именно, что фигуры эти обладают одинаковым объемом , и в теореме XI, 29 аксиома эта служит для доказательства того, что параллелепипеды с равными основанием и высотой равновелики; кроме того, из нее можно заключить (XI, 28), что обе трехгранные призмы, из которых складывается параллелепипед, равновелики. Но мы знаем, что призмы, которые перемещают в первом доказательстве, конгруэнтны и что трехгранные призмы последней теоремы могут быть превращены путем перемещения их частей в конгруэнтные призмы. Однако Эвклид, повидимому, не заметил этого, ибо тогда введение нового принципа для равенства тел было бы излишним и, следовательно, противоречило бы обычному его приему. Седьмая аксиома была для указанной ними задачи только признаком геометрического равенства или, если угодно, определением этого равенства, но, во всяком случае, она содержит в себе крайне важную подлинную геометрическую гипотезу, или аксиому, выражающую тот факт, что в действительности, вообще, речь может итти о конгруэнтных фигурах, т. е. о перемещении фигур в другие части пространства. Согласно аксирме Эвклида геометрические величины определяют все то, что остается неизменным при таком переносе, но она не дает никакого указания на то, в чем состоит это перемещение; аксиома совсем даже не говорит об этом, но приложения показывают, что имели в виду эмпирическое перемещение, с которым были знакомы на основании опыта с так называемыми неизменными физическими телами.
Когда выше мы сказали, что аксиома I, 7 необходима для полной характеристики прямой линии, то мы имели в виду именно гипотезу, которой пользуется Эвклид, например, при доказательстве теорем о конгруэнтности и согласно которой перемещение не изменяет прямой линии.