Примечание о гипотезах геометрии. Если комбинировать вышеупомянутое последнее свойство прямой линии со свойствами, выраженными уже в постулатах,— включая „однозначность нахождения ее по двум точкам, — то определение прямой будет гласить, что это линия, которая совпадает на всем своем протяжении с другой прямой линией, когда ее переносят так, что две точки ее совпадают с двумя точками второй прямой. В этом определении нет порочного круга, хотя прямая линия определяется путем наложения на другую прямую линию; это видно из того, что никакая другая линия не обладает этим свойством. Но зато здесь в качестве гипотезы допускается возможность перемещения. Наконец, согласно этому определению, прямая линия есть геометрическое место неподвижных точек вращающегося тела, две точки которого закреплены; из него же можно вывести лостроение прямых линий с помощью линейки, т. е. подвижной прямой.
Правда, определение это не выражено формальным образом у Эвклида, но •оно вытекает из всех свойств, которыми он фактически пользуется и которые он устанавливает последовательно в виде постулатов и аксиом. На основании этих же самых гипотез плоскость оказывается поверхностью, которая содержит целиком всякую прямую, проходящую через две ее точки. Правда, это уже больше того, что должно заключаться в хорошей дефиниции, ибо здесь плоскость не определяется ни как геометрическое место однократной бесконечности прямых, ни как геометрическое место двукратной бесконечности точек, но, во всяком случае, это определение (determination) можно разложить на дефиницию и на аксиому или постулат: плоскость является тогда по дефиниции геометрическим местом точек, соединяющих неподвижную точку с точками неподвижной прямой; затем следует прибавить, в качестве недоказуемого, но необходимого для дальнейшего построения геометрии предположения, что эта поверхность обладает тогда вышеупомянутым общим свойством.
Неверно думать, будто можно избегнуть этой трудности с помощью следующей дефиниции плоскости: лоскость — это геометрическое место точек, равноудаленных от двух неподвижных точек. Хотя в стереометрии удается тогда доказать, что определенная (defini) таким образом плоскость содержит, действ тельно, всякую прямую, две точки которой она содержит, но это возможно сделать, опираясь лишь на планиметрию, где уже принята была эта гипотеза о плоскости, содержащей все рассматриваемые фигуры.
По отношению к плоскости высказывают еще одну гипотезу, которая не вытекает из вышеустановленной дефиниции, — мы имеем в виду гипотезу, которая содержится в пятом постулате и согласно которой (за исключением специально оговоренного случая) две расположенные в одной плоскости прямые пересекаются между собой.
Как мы уже сказали (см. выше, стр. 91), Эвклид принимает еще (не формулируя ее явно) другую геометрическую гипотезу относительно прямолинейных фигур, именно, что замкнутая (ломаная или кривая) линия плоскости заключает конечную поверхность и что она пересекается, по меньшей мере, в двух точках всякой линией, прямой или замкнутой, соединяющей внешнюю точку с внутренней. Аналогичные гипотезы требуются и для замкнутых поверхностей, но они могут играть роль лишь в том случае, если итти дальше Эвклида в этом направлении.
Таким образом геометрические аксиомы, которыми пользуется Эвклид, сводятся к следующему: 1) к аксиоме о перемещении фигур, 2) и 3) к вышеприведенным двум гипотезам о плоскости, 4) к гипотезе о замкнутых контурах (или поверхностях). Существенные пункты этих гипотез он указывает в своих определениях, постулатах и аксиомах, которые содержат сверх того объяснение употребляемых терминов, а также, в аксиомах 1—3 и 8, гипотезы, касающиеся теории величин вообще. Эти последние не ограничиваются только изложением терминов, но содержат также необходимую для построения настоящей теории величин гипотезу о неизменчивости и изменчивости величин отделения, за которым следует сложение целиком или частично полученных таким образом долей.
Благодаря ясности и прозрачности важнейших употребляемых в „Началах" геометрических аксиом основные принципы воздвигнутой на них геометрии могли стать отличным исходным пунктом для современных исследований о „значении (portee) отдельных гипотез и их взаимной независимости". Действительно, если они независимы друг от друга, то можно сохранить некоторые из них и делать вывод только из них, пренебрегая прочими гипотезами. Таким путем получают некоторую обобщенную геометрию, ибо доказанные в этом случае теоремы имеют силу как для „пространства", удовлетворяющего еще и другим гипотезам, так и для „пространств", не удовлетворяющих им. Эти теоремы могут найти также в определяемом гипотезами Эвклида пространстве другое приложение: так, например, можно заменить прямые линии известными кривыми, характеризуемыми с помощью некоторых свойств обыкновенной прямой линии, свойств, присущих не специально только прямым линиям, но еще и другим линиям.
Однако наиболее важное из таких обобщений — проективная геометрия — возникла, собственно говоря, не из размышлений над аксиомами. Действительно, большинство теорем проективной геометрии имеет своим источником обобщения, возникшие в области геометрии, основанной на всех гипотезах Эвклида. Но, по существу, эта геометрия свободна от некоторых из этих гипотез, и поэтому ее можно построить с самого начала без них.