В проективной геометрии удаляют аксиому о перемещении (фигур) и вытекающую из нее теорию геометрических величин; благодаря этому обходятся также, по крайней мере, до тех пор, пока проективная геометрия не создает себе своего собственного понятия о перемещении, а также о величинах — обходятся и без общих понятий о величинах, устанавливаемых в остальных аксиомах Эвклида. Но зато здесь принимают во внимание гипотезы, заключенные в постулатах, причем, однако, отвлекаются от содержащихся в них заимствований из теории величин. Благодаря этому отпадает с самого начала третий постулат о нахождении (determination) круга, определяемого тем свойством, что его радиус обладает неизменной величиной, а затем отпадают ограничения пятого постулата, на место которого становится следующий постулат: две прямые линии одной и той же плоскости пересекаются всегда в одной точке.
Можно, однако, избегнуть прямого противоречия с геометрией, в которой пользуются всеми гипотезами Эвклида, или с „эвклидовой геометрией', допустив, что параллельные прямые этой последней пересекаются в бесконечности. Благодаря тому, что проективная геометрия не интересуется вопросом: бесконечно далеки или нет точки пересечения, ей удается охватить как эвклидову геометрию, так и неэвклидову, о которой речь будет ниже.
В проективной геометрии прямая линия обладает теми же свойствами, что и в эвклидовой геометрии, за исключением свойства перемещения, в силу которого одну прямую можно заставить совпасть с другой прямой; свойства плоскости в проективной геометрии, как и в эвклидовой, связаны со свойствами прямых: в ней сохраняются обе гипотезы, относящиеся к нахождению (determination) плоскости. Так как в ней нельзя уже строить на аксиоме перемещения, а только на названных двух гипотезах, то ясно, что для развития проективной геометрии независимым образом и без предварительного знания эвклидовой геометрии необходимо начать с соображений стереометрического порядка, позволяющих пользоваться этими гипотезами. Что касается эвклидовой гипотезы о замкнутых контурах, то она, оказывается, не независима от опущенных гипотез, поэтому ее нельзя оставить в проективной геометрии. Наоборот, в этой геометрии, в плоскости существуют замкнутые линии двух родов, из которых одни пересекают прямую в четном числе точек (или ни в одной точке), другие — в нечетном числе.
В противоположность проективной геометрии источником так называемой неэшклидовой геометрии являются как раз размышления над эвклидовыми гипотезами, в особенности над одной из них, содержащейся в пятом иосгулате. Чтобы понять сущность этих умозрений, лучше всего, может быть, вспомнить, что постулат этот в большинстве изданий «Начал" нашел место среди аксиом, где в итоге вставок других менее подлинных аксиом он получил название „одиннадцатой аксиомы Эвклида". Пока среди постулатов находилась характеристика (determination) точки, как места пересечения двух прямых, это являлось естественным дополнением к характеристике прямой по двум точкам; наоборот, когда та же гипотеза была включена среди соответствующих теоремам аксиом, то это должно было привлечь особенное внимание к содержащемуся здесь ограничению. Аксиома, согласно которой две прямые, у которых сумма внутренних и расположенных по одну и ту же сторону углов, образуемых третьей, пересекающей их прямой, меньше двух прямых, пересекаются между собой с этой стороны, становилась тогда дополнением к теореме, согласно которой две прямые параллельны, когда названная сумма равна двум прямым. Эвклид доказывает эту последнюю теорему в I, 27 и 16 с помощью других гипотез. Нельзя ли в таком случае доказать также одиннадцатую аксиому и вытекающую из нее важную теорему о сумме углов треугольников?
Вопрос этот породил с течением времени несчетное множество попыток доказательств. Некоторые из них были, без сомнения, до известной степени правомерны, поскольку они ставили на место эвклидовой гипотезы другие гипотезы, истинность которых можно было с самого начала признать с тем же основанием, как истинность гипотезы Эвклида. Но авторы их, в отличие от Эвклида, не всегда сознавали и говорили, что они выдвигают просто гипотезы. Мы приведем ниже для упоминаемой здесь аксиомы Эвклида и для связанных с ней теорем о том, что прямая линия однозначно определена (determinee), когда она проходит через какую-нибудь точку и параллельна данной прямой или что „сумма углов треугольника равна двум прямым",—ряд доказательств, которые вошли в употребляемые в наше время или в употреблявшиеся в непосредственно предшествующую эпоху руководства. Среди этих докзательств те, которые отмечены нами № 2 и 3, принадлежат французскому математику Лежандру (Legendre).
1. Довольствуются тем, что стараются показать самоочевидность аксиомы и убедить читателя принять ее на тех же основаниях, на каких он принимает предшествующие геометрические гипотезы.
2. Теорему, что „два угла треугольника определяют третий угол его", можно свести к определению треугольника по одной стороне и двум прилежащим к ней углам. Действительно, величина одной единственной стороны может дать лишь масштаб начерченной фигуры и, следовательно, не может иметь никакого влияния на форму треугольника, а значит, и на углы, значит, два заданных угла треугольника определяют третий угол его. Нетрудно видеть, что при доказательстве здесь пользуются, в качестве геометрической гипотезы, идеей подобия или идеей независимости вида фигуры от масштаба: это в точности соответствует методу самого Эвклида, когда в своей аксиоме перемещения он устанавливает в качестве геометрического принципа величин идею конгруэнтности.
3. Другие исследователи не довольствуются, подобно Эвклиду, для определения (determination) величины угла принципом перемещения, а рассматривают величину угла, как отношение бесконечной части плоскости, заключенной между сторонами угла, ко всей плоскости в целом. Поэтому, если бы можно было провести через точку две прямые, параллельные данной прямой, то вся полуплоскость, отсекаемая этой последней прямой, полуплоскость, равная двум прямым углам, составляла бы только часть одного из четырех углов, которые образуют обе первые прямые и которые каждый меньше двух прямых углов. Нетрудно видеть здесь, что новая гипотеза заключается в специфический дефиниции угла и сводится к утверждению, будто устанавливаемое в этой дефиниции отношение двух бесконечных количеств имеет определенное значение.
4. Другие исследователи доказывают, что сумма внешних углов многоугольника равна четырем прямым; для этого доказательства они вращают прямую по» следовательно вокруг вершин углов многоугольника, начиная с одной из сторон, пока она не совпадет с другой стороной; когда эта прямая вернется к своему первоначальному положению, то она, в общем, должна повернуться настолько, на сколько она повернулась бы при возвращении к первоначальному положению, вращаясь вокруг неподвижной точки. В этом доказательстве при определений угла как величины исходят тоже не из эвклидова принципа перемещений, а определяют угол, скорее, как часть целого оборота. Но^ такое определение содержит в себе гипотезу, что эта часть обладает величиной, притом такого рода, что для нее безразлично, совершают ли целый оборот вокруг некоторой единственной точки или же разлагают его на ряд частичных оборотов вокруг различных точек. Нетрудно убедиться, что это представляет специальную гипотезу, пригодную, как и эвклидова аксиома, лишь для плоскости. Достаточно заменить плоскость сферической поверхностью, а прямые — дугами больших кругов, чтобы названная гипотеза перестала быть правильной.