Теоремы 22 и 23 книги V, взятые вместе с этим заимствованием из книги VI, содержат полные доказательства предложений, которые в современной формулировке гласят следующее: произведение определяется своими сомножителями, причем порядок последних не играет никакой роли.
Таким образом древние обладали двумя различными способами представления того, что теперь — независимо от вопроса о рациональности или иррациональности сомножителей — называют их произведением: во-первых, только что изложенным нами способом и, во-вторых, представлением с помощью прямоугольников, которым пользовались в геометрической алгебре. Но, по существу, оба эти способа представления выражают одну и ту же вещь, как это видно из вышеприведенной теоремы 23 книги VI.
Хотя представление путем сложных отношений более громоздко^ но оно обладает одним существенным преимуществом: в то время как в геометрической алгебре речь идет обыкновенно лишь о произведениях двух сомножителей, изображаемых с помощью прямоугольников, а для изображения произведений трех сомножителей нужно обратиться к пространству и взять для этого параллелепипеды,—с помощью сложного отношения сомножителей можно представить произведение произвольного числа их.