Это геометрическое дополнение к учению о пропорциях на-находится в шестой книге „Начал", которая, сверх того, содержит важнейшие приложения этой теории к геометрии — в особенности к подобным фигурам, — а также сочетание ее с геометрической алгеброй. Благодаря этому сочетанию удается представить геометрически и решить уравнения второй степени, в которых при х2 имеется коэфициент; правда, если этот коэфициент а был рационален, то древние, как мы видели, умели превращать заданное уравнение в другое с неизвестным ах, без коэфициента при члене второй степени; если же этот коэфициент был иррационален и приходилось представить его некоторым отрезком, то обыкновенная геометрическая алгебра двух измерений становилась недостаточной.
Рассмотрим теорему 1, в которой доказывается, что площади треугольников и параллелограмов с одной и той же высотой пропорциональны основаниям. Здесь общее эвклидово определение равенства отношений находит отличное применение; так как при равенстве оснований равны и площади, то применение названного определения приводит непосредственно к общей теореме, причем, в отличие от изложения в современных руководствах, нет необходимости начинать со случая соизмеримости и затем лишь делать соответствующее обобщение.
За этим следуют теоремы 2 и 3 о проведенных в треугольнике параллельных прямых и о делении стороны треугольника биссектрисой противоположного угла; потом основные теоремы (4—7) о подобных треугольниках: доказательство их ведется путем построения треугольника, подобного одному из заданных и конгруэнтного другому; теоремы эти находят немедленно приложение (8) к прямоугольному треугольнику и к двум треугольникам, на которые его делит высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.
В 9—13 содержится деление отрезка на равные или пропорциональные части, а также построение третьей пропорциональной (т. е. четвертой к а, & и &), четвертой и средней пропорциональной; это последнее построение применялось уже в геометрической алгебре для нахождения стороны квадрата, равного заданному прямоугольнику, но тогда это приходилось доказывать иным способом.
Затем идут теоремы (14—23) об отношении между площадями фигур; основную теорему (23) о площадях параллелограмов, имеющих равные углы, мы уже упоминали; в доказательстве (19), устанавливающем, что отношение площадей подобных треугольников равно — как мы теперь выражаемся — квадрату отношения двух соответственных сторон, отношение а: Ь этих двух сторон, которое приходится сложить с самим собой, сводят к виду Ь:с. так что квадратное отношение становится а:с. В этой группе теорем содержится еще и следующее предложение: в пропорции прямоугольник (произведение) из внешних членов ее равен прямоугольнику из внутренних членов.
В конце книги (28—29) рассматривается, при помощи теории пропорций, вопрос об обобщенных приложениях площадей. Одно, не зависящее, впрочем, от теории пропорций, обобщение заклю-ча тся в замещении прямоугольников параллелограмами с любым заданным углом; но это последнее преобразование не имеет никакого влияния на геометрико алгебраическое значение этих задач, и мы можем оставить его в стороне и заняться только прямоугольниками.
В таком случае интересующие нас задачи сводятся к следующим:
К заданному отрезку (а) приложить заданную площадь (В) в виде такого прямоугольника {с высотой х), чтобы недостающий (28) или избыточный (29) прямоугольник был подобен заданному прямоугольнику (со сторонами с и й).