Соизмеримые величины и их числовая трактовка; седьмая—девятая книги Эвклида. В седьмой книге Эвклид вводит единицу, в результате чего измеряемые ею величины выражаются в целых числах; затем он рассматривает в этой книге и двух следующих за ней вопросы о целых числах, их отношениях и разных других их сочетаниях. Седьмая книга содержит в применении к целым числам ряд теорем о пропорциях, доказанных со всей общностью уже в пятой книге. Объясняется это тем, что общая теория пропорций, изложенная в пятой книге, была еще слишком нова и недостаточно поэтому развита, чтобы ее можно было положить в основу всего, что она охватывает в действительности. Благодаря этому сохранившееся в седьмой книге учение о пропорциях представляет образец более старого подхода к вопросу, когда еще не учитывали возможности того, что члены отношений могут быть несоизмеримыми.
Развитая в седьмой книге теория пропорций представляет, по существу, лишь из/южение важнейших общих предложений, употребляемых при вычислении с дробями. (Поэтому, в противоположность тому, как мы поступили при изложении пятой книги, мы писали теперь отношения в виде дробей).
Непрерывные пропорции, о которых говорится в восьмой и девятой книгах, представляют, как мы уже сказали, древнюю форму геометрических прогрессий, но с целыми членами; отношение между членами, занимающими различные места в таком ряду, представляют древнюю форму различных степеней целых чисел и дробей. Некоторые теоремы о корнях являются результатом вставки средних пропорциональных.
Наиболее важные результаты в области теории чисел содержатся в теоремах 20 и 36 девятой книги: в первой доказывается, что существует бесконечное множество первых чисел, на основании того, что произведение всех последовательных первых чисел + 1 либо само есть новое высшее первое число, либо содержит множителем хдкое высшее первое число; во второй же доказывается, что если в произведении (1 + 2 + 22 + ... +2п) Т первый множитель является первым числом, то само это произведение представляет „совершенное" число, т. е. число, равное сумме всех своих множителей; правильность эгой теоремы нетрудно доказать на основании теоремы 35, которая, как мы уже сказали , дает нам необходимое для этого доказательства суммирование геометрических прогрессий.