Несоизмеримые величины: десятая книга Эвклида. Если мы не будем останавливаться подробнее на десятой книге „Начал", наиболее обширной книге эвклидова труда, то не потому, что содержащийся в ней материал, накапливавшийся со времен Теэтэта вплоть до Эвклида— не представляет большого значения,— наоборот; но дело в том, что, несмотря на тщательное изложение Эвклидом материала, его трудно охватить, ибо нелегко, не обладая никакой системой знаков, разобраться среди классифицированных в этой книге иррациональных величин. Хотя названные классификации употреблялись впоследствии в течение долгого времени, но все же десятая книга „Начал" не смогла приобрести столь длительного исторического значения, как другие части этого труда. Объсняется это тем, что алгебраическая символика, даже на первых шагах ее развития, дает гораздо более ясную и обозримую картину различных видов иррациональных величин. Мы сами ограничимся здесь тем, что попытаемся дать с помощью современных символов некоторое представление о том, что представляют собой классифицированные в этой книге величины, не останавливаясь на вопросе о наименованиях, служащих Эвклиду для классификации их.
Что касается самих этих наименований, то в интересах читателей, намеренных обратиться к самому тексту Эвклида, замечу, что когда он говорит о рациональных величинах, то он имеет в виду не только величины, соизмеримые с единицей, но и такие величины, квадраты которых соизмеримы с единицей или, как он выражается, которые ^в степени соизмеримы" с единицей. Впрочем, Эвклид не употребляет здесь термина единица в том смысле, который он имеет в руководствах по теории чисел; это слово обозначает некоторую произвольно выбранную величину, которая принимается за рациональную и которая играет в контексте ту же роль, что и единица.