Эта обстановка могла быть лишь благоприятной для математических наук, которые нуждались в мире, как для того, чтобы объединить в прочные системы многочисленные разрозненные факты, так и для того, чтобы использовать добытые плодотворные методы и с их помощью подняться на еще более высокую ступень. Для устного преподавания, без которого оказались бы мало понятными и крупные писаные труды, необходимы были тишина и спокойствие. Кроме того, математика стала особой специальной наукой, и для нее необходимы были специалисты, которые не вынуждены были бы вечно ссориться с философами па поводу своей науки или же заниматься сами философией.
Эта специализация александрийской науки не мешала, однако, одному и тому же человеку работать в нескольких отраслях знания. Таким разносторонним ученым был, например, Эратосфен из Киренаики, живший во второй половине III в. и стоявший одно время во главе александрийской библиотеки; кроме философии и грамматики он занимался географией и даже высшей геодезией — он предпринял первое измерение градуса меридиана—хронологией и математикой.
Мир, благоприятствовавший деятельности александрийских математиков, мог, правда, иметь и ряд отрицательных сторон, способствуя пробуждению, например, высокомерия и возникновению кружковщины. Не приходится поэтому жалеть, что величайший математик этой эпохи, Архимед, жил в Сиракузах, а не в Александрии.
Из Сиракуз он посылал аккуратно в Александрию как законченные свои работы, так и неокончательные еще результаты их. Правда, некоторые александрийские ученые хотели присвоить себе кое-какие из его открытий, найдя для них после него свои доказательства, но в один прекрасный день он одурачил их, сообщив им ложные теоремы, для которых они постарались тоже найти доказательства. Пребывание Архимеда вне Александрии имело еще и ту полезную сторону, — с точки зрения нашего знакомства с его трудами, — что он должен был многое излагать письменным образом, между тем как, если бы он жил в Александрии, он ограничился бы устными сообщениями о своих открытиях окружающим его лицам и своим ученикам или, в лучшем случае, изложил бы их письменным образом в приноровленной для понимания последних форме.

Архимед, бывший другом царя Гиерона, жил в Сиракузах, где он пользовался большим уважением. Он погиб при захвате римлянами Сиракуз, защите которых он много содействовал своими познаниями в области механики. Можно считать достоверным, что он посетил Александрию, где завязал сношения с рядом лиц, которым он пересылал впоследствии свои работы. Из его трудов до нас сохранились: „О шаре и цилиндре", „Измерение окружности", „О коноидах и сфероидах", „О спиралях", „О равновесии плоских фигур", „Исчисление песка", „Квадратура параболы" и „О плавающих телах" (это последнее сочинение уцелело только в латинском переводе). Кроме того, сохранилось еще, через посредство позднейших греческих и арабских писа!елей, несколько отрывков, из которых мы назовем сочинение „О полуправильных телах" и ряд геометрических теорем, „Леммы Архимеда"; возможно, впрочем, что „Леммы" эти отчасти позднейшего происхождения.
Что касается Аполлония пергейского, то он, несомненно, работал в Александрии. От него сохранилось семь (из восьми) книг „О конических сечениях", первые четыре по-гречески, л следующие три в арабском переводе. По-арабски же сохранился его трактат „О пропорциональном сечении", между тем как его сочинения „Об определенном сечении", „О сечении пространств", „О касаниях" и „О вставках" известны нам лишь по позднейшим сообщениям о них. Повидимому, Аполлоний сделал также много для приложений математики к астрономии.
Из современников, предшественников и непосредственных преемников этих трех великих геометров назовем: Аристея, который был старшим современником Эвклида и написал утраченные сочинения „О пространственных местах" и „О правильных многогранниках"; названного нами уже раньше Эратосфена; Ни-комеда, деятельность которого приходится на эпоху между Архимедом и Аполлонием; Диоклеса, Персея, Зенодора и Гип-сикла. Этот последний написал книгу о правильных многогранниках, которую обыкновенно включают в популярные издания эвклидовых „Начал" как четырнадцатую книгу их. Что касается прочих, то мы знаем лишь названия некоторых утраченных трудов их или же отдельные разрозненные открытия их, о которых упоминают позднейшие авторы.
Даже после рассмотренного нами только что периода мы встречаемся с крупными достижениями в отдельных отраслях греческой математики, особенно в тех, которые находят приложения в астрономии. Хотя мы не пишем истории этой последней, мы все же дадим здесь краткий обзор деятельности в различные эпохи греческой древности авторов-астрономов, которые заслуживают особого упоминания, благодаря своим трудам, имеющим отношение к математике.
Мы уже имели случай указать, что Эвдокс, которому математика обязана своими наиболее глубокими методами, был также основателем научной греческой астрономии, которая подверглась, однако, довольно скоро внешним влияниям после завоеваний Александра Великого, облегчивших грекам знакомство с древней халдейской астрономией. Великие александрийские математики были, как мы сказали, одновременно и астрономами. Среди них мы должны назвать Аристарха самосского (жившего в эпоху между Эвклидом и Эратосфеном, приблизительно около 270 г. до начала н. э.), творца астрономической гипотезы, воскрешенной через тысячу восемьсот лет Коперником. Работы Эратосфена по математической географии должны были, помимо всего прочего, содействовать систематизации наблюдений, произведенных в свое время халдейскими астрономами.

Повидимому, Аполлоний является творцом многочисленных теорий, благодаря которым в следующую эпоху греческие астрономы добились ряда достижений в вопросах наблюдения и вычисления. Его непосредственными преемниками были, несомненно, александрийцы, но величайший греческий астроном, Гиппарх никейский (около 150 г, до начала н. э.), производил свои наблюдения на о. Родосе. Он извлек все, что только можно, из древних наблюдений холдеев; приблизительно в его время начинается восточное влияние, выразившееся в делении окружности на 360° и во всеобщем употреблении шестидесятиричной системы в астрономических и тригонометрических вычислениях.
Если приложение математики к астрономии дало даже после эпохи деятельности великих математиков новый толчок развитию математических наук, то этого отнюдь нельзя сказать о приложении математикм к землемерному искусству и к практической механике. Теоретические основы землемерного искусства были даны уже в греческой геометрии; что же касается теоретической механики, то своими достижениями в древности она обязана особенно Архимеду. Мы знаем на основании позднейших свидетельств, что Архимед и его современники добились крупных успехов в практической механике. Египетское происхождение геометрии и само название ее показывают, что первоначально она применялась в землемерном деле. Действительно, название это означает в точности измерение земли, хотя уже со времени Аристотеля землемерное искусство носило специальное название „геодезии". Одновременно с землемерным искусством и по тем же соображениям была отвергнута чистыми геометрами, как нечто ненаучное, логистика или вычислительное искусство. И мы видим, действительно, что эвклидовы „Начала" так же мало интересуются землемерным искусством, как и другими числовыми приложениями математики.
Печальным последствием этого является то, что мы не знаем по первоисточникам, как в эпоху наивысшего расцвета греческой математики применяли практически результаты этой науки. Если не говорить об авторах, писавших по вопросам астрономии, то сведения об этом мы должны искать у еще более поздних писателей. Среди них надо упомянуть в особенности Герона александрийского, деятельность которого еще недавно относили ко времени, непосредственно следовавшему за расцветом александрийской школы, но который, согласно новейшим исследованиям, жил, повидимому, не ранее II в. или конца I в. после начала н. э. Труды его, в которых наряду с точными греческими методами встречаются приближенные египетские формулы различной ценности, сыграли крупную роль, ибо по ним учились землемерному искусству и другим практическим приложениям геометрии в течение долгого периода, когда утратили понимание греческой геометрии с ее точностью или когда уже вообще не знали ее. Они оказались пригодными для этой цели именно потому, что в них рассматривается множество числовых задач.

Значение Герона для истории математики заключается еще в том, что он показывает нам уровень и способ выполнения числовых действий, соответствующих научным результатам греческой геометрии.
Однако с началом нашей эры развитие греческой математики, по крайней мере, в том, что составляет ее величие, приостановилось. Чтобы понять причину этого, коренящуюся в самой структуре греческой математики, надо прежде всего узнать ее самое. Здесь мы можем только отметить, что благоприятные внешние условия, при которых протекала научная работа в первую половину александрийского перигда, к этому времени уже исчезли. Уже при некоторых из позднейших Птолемеев ученые не пользовались таким привилегированным положением, как при первых царях этой династии. Когда же & середине I в. до начала н. э. римляне, подчинившие уже себе большую часть областей греческой культуры, стали также владыками Александрии, то обстановка научной работы окончательно ухудшилась. В области математики победители ничему не научились у побежденных.
В дальнейшем александрийская библиотека, эта сокровищница научных знаний, неоднократно становилась жертвой пожаров, и если тем не менее Александрия продолжала оставаться научным центром, в котором лучше всего сохранилась старая математическая культура и в котором по временам наступали периоды нового расцвета математики, то это объясняется тем, конечно, что здесь всегда хранилось большинство творений математиков.
В Александрии в конце III в. н. э. жил Папп. По сравнению с учеными, которые во времена Птолемеев работали в этом городе, это не был, конечно, великий математик, но его „Математический сбсрник" приобрел исключительное значение для нас, ибо он дает нам ценные сведения относительно утраченных теперь произведений великих математиков, либо прямым путем, либо косвенным с помощью ряда лемм.

В одной только области были сделаны новые открытия еще во времена Паппа, именно в арифметике. От эпохи, лежащей между великими математиками и Паппом, у нас имеются труды нескольких арифметиков, среди которых особенно выдается Ни-комах (около 100 г. после начала н. э.). Он написал сохранившееся до нас „Введение в арифметику". Но новизна его работ и работ некоторых других арифметиков только кажущаяся и объясняется тем, что за немногими исключениями исследования по арифметике от эпохи расцвета математических наук погибли.
Но, с другой стороны, сочинения современника Паппа, Диофанта, обнаруживают такую оригинальность, что в них мы должны видеть действительно крупное расширение горизонта греческой математики. От него сохранилась до нас значительнейшая часть большого труда под названием „Арифметика"; мы не знаем, однако, включено ли было в этот трактат небольшое сочинение о фигурных числах.

Если теперь обратиться к изучению состояния греческой математики, начиная с древнейших времен, то оказывается, что о VI в. мы знаем очень мало. Правда, Эвдем приписывает Фалесу ряд различных теорем, среди которых он, весьма возможно, знал следующую:
„Угол, вписанный в полуокружность, прямой,"
может быть, открытую им самим, а может быть, заимствованную у египтян. Эта теорема выводится без всякого труда из того легко бросающегося в глаза факта, что в окружность можно впи сать прямоугольник.
Но зато трудно найти какой-нибудь смысл в утверждении Эвдема, будто Фалес доказал, что диаметр делит круг на две равные части: в те времена не считали бы вовсе необходимым доказывать столь очевидную вещь. Впрочем, может быть, Эвдем хотел сказать, что теорема эта, знание которой считалось в его время необходимым для доказательства теоремы об угле, вписанном в полуокружность, была также нужна Фалесу. То же самое приходится, вероятно, сказать и о следующих упоминаемых им теоремах:
„Если две прямые пересекаются между собой, то образуемые ими вертикальные углы равны; точно так же равны между собой углы у основания равнобедренного треугольника".
„Треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами".
Что касается в частности этой последней теоремы, то все ее теоретическое значение выступает лишь тогда, когда ее берут вместе с другими аналогичными теоремами, с которыми она связана; но так как нам не сообщают, что Фалес был знаком с этими теоремами, то рассказ этот можно объяснить традицией, приписывающей Фалесу некоторые практические операции, для теоретического обоснования которых необходима рассматриваемая теорема. Эта традиция приписывает, например, Фалесу определение расстояния недоступных точек, измерение высот с помощью тени; дошедший до нас рассказ дает основание думать, что эти измерения были произведены с помощью теоремы о равных треугольниках. Но определение наклона ребра пирамиды египтянами показывает, что они умели пользоваться подобием треугольников и что, следовательно, они ушли дальше Фалеса.
Во всяком случае, Фалесу принадлежит честь того, что он первый среди греков занялся математическими исследованиями. Но какого уровня математических знаний достигли в VI в.? И на какой основе мог продолжать строить следующий век? Ответ на этот второй вопрос является лучшим ответом и на первый. Если, например, верно, что пифагорейцы открыли пять правильных многогранников, то это предполагает наличие у их лредшественников довольно значительных математических знаний.

Наши сведения об уровне математических знаний пифагорейцев гораздо более удовлетворительны. Разумеется, на них не следует слишком полагаться, и не только в вопросе о том, что принадлежит учителю и что ученикам, ибо они проникнуты вообще тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время. Но человеку, знакомому с состоянием греческой математики в более позднюю эпоху, сообщения эти дают столь ясную и цельную картину положения этой науки ша первой стадии ее развития, картину работы мысли, предпринятой в самом начале и оставившей затем свой след на истории греческой математики, да и вообще всей позднейшей математики, что будет полезно собрать воедино и изложить эти сообщения. Это даст нам возможность познакомиться с основой произведенных в конце рассматриваемого нами столетия исследований, мы лучше поймем их цель, а тпкже уясним себе состояние математических наук в следующем столетии.

Согласно Эвдему пифагорейцы прежде всего „придали геометрии характер настоящей науки, благодаря тому, что Пифагор рассматривал принципы ее с возвышенной точки зрения и, так сказать, исследовал теоремы ее более интеллектуальным и нематериальным образом; кроме того, он открыл иррациональные величины и построение космических фигур (правильных многогранников)"-Обращаясь к более подробным сведениям, имеющимся у других авторов, мы узнаем, кроме нескольких определений, скорее философских, чем математических, точки, линии, поверхности и тела, что пифагорейцы знали сумму углов треугольника и деление плоскости на многоугольники (вероятно, правильные), так что вокруг одной точки могли лежать 6 треугольников, 4 квадрата и 3 шестиугольника. Пифагорейцы, согласно Ьтиы сообщениям, придумали так называемое приложение площадей— под этим понимали, как мы увидим, геометрический способ решения квадратных уравнений; они знали далее построение многоугольника, равновеликого данному многоугольнику и в то же время подобного другому многоугольнику. Рассказывают, будто один пифагореец нарушил правила своей школы, разгласив „теорему о двенадцати пятиугольниках в шаре".

Нам сообщают, что пифагорейцы были знакомы с тремя видами пропорций — арифметической, геометрической и гармонической, а также с треугольными числами, т. е. суммами последовательных чисел натурального числового ряда, и что они занимались также арифметическими прогрессиями более общего вида; наконец, что Пифагор видел в числе принцип всех вещей и что пифагорейцы изучали некоторые особенные целые числа, как, например, дружественные числа (т.е. такие числа, из которых одно равно сумме множителей другого) или совершенные числа, равные сумме своих собственных множителей (6=1 + 2 + 3). Наконец, Пифагор будто бы установил отношения между геометрией и арифметикой или музыкой.
Мы рассмотрим подробнее некоторые из этих вопросов и их значение для судеб греческой математики, но прежде всего мы выясним связь их, чтобы показать согласие между данными, опирающимися на весьма различные источники.

Прежде всего отметим попытку выяснить содержание понятий точка, линия и т. д. Укажем далее, что уже тогда обладали понятием угла и применяли его как к делению плоскости, так и к исследованию того, какие возможны правильные многогранники. Разумеется, потребовалось немало труда, чтобы притти также к точному определению и построению додекаэдра и икосаэдра, как они даны у Эвклида, но первый шаг в этом направлении, построение правильного пятиугольника, был сделан, и это явно переполняло гордостью сердца сделавших его.
В случае построения стороны пятиугольника или десятиугольника мы имеем уже пример геометрического решения уравнения второй степени, решения, дважды повторяющегося у Эвклида. Что пифагорейцы не ограничились одним этим случаем, это видно не только из сообщения о приложении площадей, но еще из упоминания в частности пифагоровой теоремы, столь важной, как мы увидим, для исследований этого рода, а также и одного не менее важного, придуманного ad hoc, построения. Прибавим к этому, что уравнения второй степени дали повод к открытию несоизмеримых величин, а числовые уравнения—к открытию иррациональных величин (под иррациональными величинами мы понимаем всегда величины несоизмеримые с употребляемой единицей).