Мы обратимся теперь к индусской математике, которая призвана была оказать совершенно исключительное влияние на ход развития нашей науки, хотя в совершенно другом направлении, чем греческая математика. Надо заметить, впрочем, что влияние это обнаружилось гораздо более благодаря непосредственному ознакомлению с индусской арифметикой, чем благодаря авторам, имена которых нам придется упомянуть Однако этим авторам мы обязаны возможностью познакомиться непосредственным образом с тем, что знали и на что вообще способны были индусские математики. Они писали по-санскригски, — языке давно уже мертвом к тому времени, но употреблявшемся браминами в их религиозных и научных книгах таким же образом, каким впоследствии в Европе пользовались латынью.
У наиболее старых из этих авторов мы встречаем геометрические правила для черчения плана храмов, похожие на правила, употреблявшиеся в древнем Египте гарпедонаптами, и обнаруживающие следы влияния греческой геометрии. В частности, мы находим здесь некоторые из преобразований, употреблявшихся в геометрической алгебре.

Правила счета при позиционной системе были у индусов—по крайней мере в существенных чертах — те же, что употребляемые в настоящее время. Имеющиеся различия связаны большей частью
с чисто внешними обстоятельствами.
Индусы пользовались счетными досками
сравнительно небольших размеров по сравнению с размерами цифр, которые для большей ясности писали довольно большими; но эти цифры можно было легко стереть и заменить другими. Поэтому ничто не мешало производить сложение и умножение, по желанию, слева направо, лишь бы не забывали исправить написанные уже цифры, прибавив к ним те избыточные единицы высшего порядка, которые могли получиться от умножения последующих цифр.
Если производивший умножение на многозначное число настолько уж наловчился, что мог не выписывать цифр так подробно, как это указано в вышеприведенной таблице, то он мог начать с умножения на наиболее значащую цифру, затем, произведя умножение на следующую за этим цифру, сложить полученное таким образом частичное произведение с ранее порученным и т. д. Таким образом на таблице имелось кроме множимого, постоянно перемещаемого так, чтобы его единицы находились на одной вертикали с единицами образуемого частичного произведения, и кроме множителя лишь одно число, полученное от сложения образованных уже ранее частичных произведений.
Но это постоянное стирание требует большой сноровки, ибо при нем уничтожается всякая возможность проверить свои ошибки; здесь приходится рассчитывать на память, которая должна удерживать не только числа, над которыми оперируют в данный момент, но и таблицы, которыми пользуются. Еще в настоящее время в Индии выучивают наизусть подобные весьма обширные таблицы, и нет сомнения, что так поступали и в древности.

Приемы счета индусов до введения цифры 0 были, возможно, очень похожи на те способы, которыми пользовались после установления позиционной системы, ибо употреблявшаяся ими письменная нумерация позволяла, во всяком случае, показать, сколько берут десятичных единиц каждого порядка.
Некоторые из методов, употреблявшихся авторами, сочинения которых дошли до нас, восходят, может быть, к весьма отдаленным временам, когда значение каждой из 9 цифр уточнялось положением ее в заранее разделенной раме; действительно, имея такую раму, можно обходиться совершенно без нуля.

Что касается письменной нумерации в собственном смысле слова, то, как мы уже сказали, девять значащих цифр встречаются в очень древних надписях. Возможно, впрочем, что при составлении из них больших Чисел пользовались способом, который был еще недавно употребляем на Цейлоне: при нем отчасти дополняли— как это делали греки — ряд из девяти цифр особыми знаками для 10, 20, 30,..., 100, затем для 1000 и т. д., отчасти же обозначали, подобно китайцам, число сотен соответствующей цифрой, помещенной перед знаком 100. Возможно также, что пользовались полностью китайским методом.

Индусы уже с самых древних времен оперировали большими числами; доказательством этого служит тот факт, что у них исстари имелись особые названия для всех десятиричных единиц вплоть до 1017. Об их раннем интересе к этим числам свидетельствует еще и другой факт: в легендах о Будде расказывается, будто он сам создал названия для десятиричных единиц вплоть до iO54 и что будто он желал пойти еще дальше в этом направлении. Отсюда, а также вообще из склонности индусов к грандиозном числам, следует, что они уже с древних пор владели тем, что у греков Архимед ввел гораздо позже в своем „Счете леска".
Правда, наряду с обилием названий для разных десятиричных единиц, у индусов не было таких опорных пунктов, какими являются для нас тысяча, миллион и т. д. Это, конечно, недостаток. Но, тем не менее, мы можем повторить здесь то, что мы сказали по поводу письменной нумерации греков: такое множество названий, способных служить средством устного общения, свидетельствует о высокой степени развития. Следует, кроме того, заметить, что выделение с помощью особого слова каждой десятичной единицы связано с теми самыми принципами, которые впоследствии дали начало позиционной системе и которые мы встречаем даже в способе произношения чисел. Так, например, в одном отрывке число 1577 917 828 передано сочетанием из чисел в собственном смысле слова и образных выражений, имеющих числовой смысл, причем счет идет, начиная с единиц: васу (vasii, т. е. категория из 8 богов), 2, 8, горы (7), форма (1), цифры (9)г 7, горы (7). лунные дни (15, т. е полмесяца). Это последнее обозначение соответствует числу, изображаемому двумя цифрами, из которых первая 1, — и это может представиться даже посредине числа, изображенного таким способом. Таким образом число произносится быстрее, чем у нас, если только мы не захотим произносить цифры по одиночке в их порядке, но, с другой стороны, этот способ представляет тот недостаток, что одна и та же цифра может иметь различные названия, как, например, в приведенном случае 7 и 8. Это связано, однако, со способом, кото» рым часто пользовались для запоминания известных чисел или даже математических правил и который заключался в стихотворном изложении их; объясняясь склонностью индусов к поэзии, он в то же время представлял некоторые практические удобства.
Правда, приведенный нами пример взят из Брамагупты, т. е. сочинения, написанного уже значительно позже изобретения позиционной системы, но по существу своему этот способ обозначения чисел относится к глубокой древности, ибо он предполагает наличие для каждого числа древних слов, образованных в связи с их отношениями к некоторым предметам. В приведенном нами примере нет нуля; возможно поэтому, что сам пример древнего происхождения.

Словом, греческие знаки были очень хороши для написания не слишком больших чисел; но зато они предназначались слишком исключительно для целей письма, — вероятно, потому, что для целей счета, когда это было нужно, пользовались механическими средствами. Чтобы получить письменную нумерацию, которая годилась бы как для счета, так и для безграничного начертания чисел, необходимо было вернуться бспять, ибо такая письменная нумерация требовала сочетания греческой краткости с римской ясностью.
У китайцев мы встречаем некоторое приближение к такому сочетанию; у них имеются особые знаки для единиц различных порядков, а для обозначения числа этих единиц употребляются символы, обозначающие числа простых единиц. Если мы заменим китайские символы комбинацией римских знаков с нашими теперешними знаками, то приведенные выше несколько чисел можно будет обозначить следующим образом:
833 = 8СЗХЗ,
803 = 8СЗ, 83 = 8X3.
Эту систему можно еще упростить, если для указания разряда высших единиц пользоваться особыми марками, как, например, в обозначениях 833 = йЗЗ, 803 = 83, 83 = 83. Но все же в позиционной системе лучше всего соединяется краткость с ясностью и удобством пользования ею.
Мы попытались с помощью общеизвестных примеров выяснить общий ход процесса образования чисел, указав в то же время, каким путем научились считать и писать эти числа. Теперь нам остается дать еще краткий обзор особенностей этого развития у индусов до изобретения позиционной системы.

В наше время немало лингвистов уже отказалось от старой теории, согласно которой признаком высшей ступени развития языка является образование, как в латинском языке, всех слов согласно исчерпывающим правилам и такое комбинирование их, что, даже не имея представления о контексте, можно понять играемую каждым словом роль по формальным элементам его — и, таким образом, иметь возможность конструировать даже сам контекст. Аналогичные языковые особенности встречаются в языках самых отсталых народов. Наоборот, в настоящее время о совершенстве языка судят на осн вании того критерия, что он вполне понятен при минимуме потребных для этого средств, т. е. при минимуме усилий как со стороны говорящего, так и со стороны слушающего; в таких языках — примером их может служить английский— пренебрегают всеми средствами, которые могут служить для указания отношения между отдельными словами, но которые фактически бесполезны для понимания текста. Разумеется, чтобы не ошибиться насчет точного смысла текста, чтобы сделав невозможным какое бы то ни было недоразумение, необходимо более глубоко знать язык и понимать например, значение положения слов. Кто обладает таким знанием, тот способен гораздо быстрее понять смысл текста, чем если бы ему пришлось обращать внимание на согласование в роде, числе и падеже. Написание и чтение чисел у греков представляло как раз аналогичные преимущества по сравнению с громоздкой нумерацией римлян. Действительно, греки не только умели писать числа до 1000 так же быстро, как мы; для того, кто привык к их знакам, чтение их чисел представляет более быструю операцию, чем чтение римских чисел, требующее предварительного расчленения различных составляющих их знаков.

Указанные нами способы не требуют — за исключением последних двух — знания письма, и это относится также к первым стадиям эволюции письменной нумерации, заключавшимся просто в замене подвижных жетонов, шариков или других аналогичных предметов неподвижными марками. Для каждой единицы клали марку, точно так, как поступают еще и в настоящее время, когда единицы появляются последовательно друг за другом, как, например, при подсчете числа поданных на выборах голосов. Марки эти, взятые вместе, могли порождать новые знаки для 5 или 10 — чисел, получивших впоследствии свои оеобые специальные марки, а также для единиц высших порядков. Так можно прийти к стройной системе обозначения чисел, вроде системы римлян, если желательно указать на всем известный пример. Легко понять, как могло возникнуть такое начертание чисел, и точно т&к. же нетрудно найти ключ к нему, даже независимо от всяких предварительных методологических указаний.

Нетрудно убедиться в практических удобствах этих приборов для простых выкладок — сложения, вычитания и умножения — с небольшими числами; поэтому мы не будем останавливаться на рассмотрении различных способов употребления их в разных местах.
Мы гораздо больше приблизимся к нашей числовой системе, когда, пользуясь делением на столбцы, мы вместо того, чтобы класть на них марки, станем вписывать в них знаки для чисел от 1 до 9. Впрочем, для этого недостаточно уметь писать, надо, сверх того, еще знать таблицы сложения и умножения или же иметь под рукой такие таблицы, ибо дело здесь не сводится к чисто механическому манипулированию марками. Позиционная система получается теперь, если вместо того, чтобы пользоваться заранее изготовленными столбцами, эти столбцы образуют с помощью самих цифр. В этом случае нуждаются в знаке, который занимает место, не обладая, однако, собственным значением: это—0.
Разумеется, нуль не был придуман сразу—и доказательством служит хотя бы то, что позиционная система появилась так поздно Впрочем, когда даже она была изобретена, потребовалось еще известное время, чтобы научиться пользоваться ею. Для этого, действительно, недостаточно только уметь писать и знать несколько таблиц, как в случае когда цифры вписываются в заранее начерченные столбцы,—но надо уметь еще до известной степени писать правильно и чисто, так, чтобы цифры занимали в точности подобающее им место, и надо еще большее напряжение памяти, чем его требуется, когда имеешь возможность вписать в столбцы столько цифр, сколько желаешь, — включая в них и те, что держишь в уме.

В настоящее время мы пользуемся одним и тем же способом как для счета с помощью образованных таким образом чисел, так и для написания их. Но это не всегда было так, и первоначально, вероятно, для фиксирования необходимых для счета чисел прибегали к тому же способу, что и для нумерации, т. е. к пальцам. У одного африканского племени для фиксирования различных единиц один человек должен был держать поднятым палец для каждой простой единицы, второй человек — палец для каждого десятка, третий — палец для каждой сотни. Ту же самую задачу может выполнить и один человек, если он б\дет различным способами пользоваться суставами своих пальцев (счет на пальцах у греков и римлян).
Наконец, в различных пунктах земного шара пользовались, да продолжают и теперь еще пользоваться, другими механическими способами, как ими пользовались древние греки, римляне и в средние векя в Европе. У цивилизованных народов ими пользуются в настоящее время лишь для специальных целей (счет в карточной ягре) или же как дидактическим средством в начальных школах —мы имеем в виду счетные доски, счетные машины, марки и пр. Счетные доски разделены на столбцы, содержащие единицы одного и того же порядка, обозначаемые с помощью небольших жетонов или других марок; в счетных машинах, заимствованных европейцами у азиатских народов, давно уже пользовавшихся ими, столбцы! заменены струнами или проволоками, вдоль которых могут передвигаться шарики или другие предметы. В каждом столбце или на каждой проволоке мигут быть два подразделения — одно с 4 или 5 марками для единиц известного рода, а другие с 1 или 2 марками для единиц в пять раз больших. Что касается счетных марок, то существуют различные формы их для обозначения различных видов единиц