Из всего сказанного следует, что наиболее ранняя —и наиболее значительная — часть в развитии математики в средние века выпадает на долю арабов. Что касается внешней обстановки, в которой протекало это развитие, то прежде всего я обращу внимание на ту поразительную быстроту, с какой арабы и магометанство распространили свое владычество на огромной части земного шара. Приняв мусульманство, жители завоеванных областей скоро слились с арабами, так что ряд стран оказался связанным друг с другом. Среди этих стран был и Египет — древняя колыбель геометрии, с Александрией, где наука эта расцвела особенно пышно и где она дольше всего продолжала еще существовать,— а также ряд других областей, населенных греками или подвергшихся влиянию эллинской культуры. Арабы покорили также страны, бывшие некогда местопребыванием вавилонских и халдейских астрономов; они проникли до Индии и, таким образом, оказались в более непосредственном контакте с индусской арифметикой, чем были греки.
Но этого благоприятного стечения обстоятельств было недостаточно для полного усвоения накопленных к тому времени математических знаний. Ведь мы видели, что для самих греков греческая наука оставалась в течение очень долгого времени бесполезным сокровищем. Мы видели также, что римляне, имевшие в свое время возможность, как впоследствии арабы, усвоить греческую математику — притом в эпоху, когда последняя сохранила еще целиком почти свою первоначальную свежесть, — не сумели использовать эту возможность. Возможно, конечно, что собственная римская цивилизация была, при всей своей односторонности, слишком обширна и своеобразна, чтобы римляне были в состоянии ассимилировать себе наиболее трудные отделы греческой науки, и, в частности, математику, и сумели стать такими же хорошими учениками, какими стали по отношению к ним самим вторгшиеся в их империю варварские народы, с одной стороны, и какими оказались, с другой стороны, арабы, этот столь юный народ, по отношению к остаткам греческой цивилизации.

Наиболее полезной и наиболее практической частью математическою наследия, оставшегося от римлян (которые, в свою очередь, получили его от греков), была счетная доска, абак, усовершенствованный затем — в эпоху, дату которой трудно точно установить — следующим образом: вместо одинаковых марок или жетонов, которые помещали в различных столбцах доски и которые своим числом обозначали число десятичных единиц соответствующих столбцов, стали употреблять девять различных знаков, соответствовавших числам от 1 до 9. Разумеется, наследие это было ничтожно по сравнению с тем, что в свое время египтяне передали грекам.
Однако и монастыри и торговые города южной Европы (особенно итальянские) представляли благоприятную почву для процветания греческой математики, как это обнаружилось, когда она вернулась в Европу в новом улучшенном виде. Виновниками этого возвращения были арабы. Арабы, с одной стороны, сумели усвоить греческую математику, обогатив ее собственными достижениями, сделавшими ее более доступной пониманию, чем она была по сохранившимся древним греческим трудам; с другой стороны, они прибавили к ней в широких размерах индусскую арифметику. Разумеется, потребовалось еще некоторое время после встречи европейцев с арабами в крестовых походах или в Испании и Сицилии, чтобы первые усвоили математику последних, а заодно с этим — и часть греческой и индусской математики и арифметики. Но именно в процессе этого усвоения подготовлялось то движение к возрождению, к быстрому развитию математики, которое к началу XVI в. совпало с огромными достижениями в других областях, отмечающими начало нового времени.

Математическое наследие не досталось тем народам, которые после конца римской империи, стали играть главную роль в западной Европе; хотя они приняли христианство и подверглись влиянию римской цивилизации, но математика не составляла элемента последней. Некогда романтики изображали европейское средневековье яркими красками, далеко не соответствовавшими действительности; в настоящее время, наоборот, часто склонны впадать в другую крайность и говорить лишь о мраке средневековья;это мнение тоже во многом ошибочно, особенно если сравнить уровень цивилизации большинства названных народов в начале средних веков с состоянием ее на исходе средневековья. В действительности, все то, что они заимствовали как у христианства, так и у римской государственности, было переработано в религиозно-духовных целях тружениками, жившими, главным образом, в монастырях; для европейских народов все эти заимствования явились, благодаря своей цивилизующей миссии, настоящим благодеянием.
Что касается, в частности, математики, то с ней тогда можно было познакомиться только по скудным извлечениям римских землемеров из практических правил египтян, а также Герона, или, в лучшем случае, по отрывкам Эвклида либо Никомаха. Хотя преемники землемеров и отличались большими теоретическими интересами, чем они, но в научном отношении они не на много возвышались над ними; поэтому их изложение этих отрывков давало повод к многочисленным недоразумениям, как, например, к тому, что фигурные числа принимали за выражение площадей.

Прямыми наследниками греческой математики к концу древности, наследниками нескольких сохранившихся капитальных трудов, понимание которых шло непрерывно на убыль, явились восточно-римская империя и греко-кафолическая цивилизация со столицей Константинополем. Хотя в дальнейшем сюда и могло проникнуть индусское влияние, но в действительности Константинополь представляет нам лишь картину продолжения начавшегося захирения. Сохранившиеся труды великих греческих геометров, это наследие прошлого, были без всякой пользы похоронены, и они были извлечены из забвения лишь к концу средних веков, став тогда одним из элементов европейской культуры.
Но еще до этого одна часть названных трудов, понимание и интерес к которым возродились, вернулась на Запад совсем иным путем, через посредство арабов.

Благодаря легкости своих практических приложений индусская арифметика имела больше шансов проникнуть там, где представлялся случай познакомиться с ней. Надо помнить, однако, что недостаточно владеть ее принципами, чтобы быть в состоянии оценить ее по достоинству. Нам самим для пользования ею приходится затратить, начиная с детства, известные усилия, чтобы выучить наизусть простейшие таблицы и привыкнуть к манипулированию ими. Поэтому преимущества ее не бросались сразу в глаза, особенно тем, кто привык уже к другим методам счета.

С другой стороны, древнее искусство индусов в операциях над числами привело к созданию настоящей арифметики. Они употребляли позиционную систему, как и мы в настоящее время, а контакт с греческой математикой дал толчок их собственному творчеству. Наиболее важным из их достижений было умелое исследование вопросов, относящихся к целым числам. Но некоторые из этих достижений относятся, может быть, уже к «эпохе, когда началось возрождение математической мысли у арабов.
Чтобы правильно оценить заслуги народов, к которым перешло после греков и индусов дело дальнейшего развития математики, следует принять во внимание, как малодоступна, собственно, была последняя для новых народов. Она была даже малодоступна для позднейших греков. И если у последних могло сохраниться — или, по крайней мере, временами возрождаться — правильное понимание уцелевших трудов прошлого в их частностях, то у них не осталось все же понимания этих трудов в целом, без которого невозможно было дальнейшее продвижение вперед. Впрочем, труды эти не сообщали ничего о некогда столь плодотворных методах, а традиция, которая могла бы оказать помощь в этом отношении, уже давно была утеряна. Поэтому приходилось самостоятельно открыть эти методы или какие-нибудь другие, прежде чем мог возникнуть вопрос о полном усвоении названных трудов; мало того: принадлежность ряда открытий грекам могла быть установлена лишь тогда, когда их удалось найти в другом виде Тем не менее, во время всего этого периода возрождения математики наследие греков — или хотя бы то, что научились мало-по-малу понимать в их трудах — сыграло огромную роль в качестве духовного импульса и руководства.

Уже в древности греки сумели, как мы видели, создать геометрию, изучающую свойства пространства столь полно и точно, что она могла сохранить все свое научное значение даже перед строгими требованиями современного знания. С другой стороны, так как с помощью геометрических форм можно представить также вообще непрерывные величины, то геометрия эта содержала в себе, кроме того, и значительную долю того, что мы в настоящее время называем чистой математикой. Облеченная в эту геометрическую форму, алгебра при вела к решению уравнений второй степени и различным обширным приложениям этих уравнений. Она дошла даже до изучения уравнений третьей степени, которое, правда, не привело к радикалам, как это делается при решении их в настоящее время, но которое с помощью теории конических сечений позволило исследовать теоретически проблемы, зависящие от этих уравнений. Метод этот был, собственно, применим и к задачам, которые зависели бы от уравнений четвертой степени, хотя фактически задачи этого рода никогда прямо не ставились.
Наряду с этими вопросами, относящимися к обыкновенному алгебраическому анализу, греки исследовали проблемы, рассматриваемые в настоящее время в интегральном исчислении, и хотя их попытки в этом направлении касались лишь небольшого числа частных вопросов, но они были сделаны с научным мастерством, вызывающим в наше время тем большее удивление, чем выше становятся наши научные требования.
Наконец, мы видели, как мало-по-малу развились числовые приложения математики к потребностям астрономии, а у Диофанта мы нашли образцы глубокого математического анализа числовых условий рациональных решений.

Благодаря прекрасному знакомству арабов как с греческой геометрией, так и с индусской арифметикой, они, естественно, сделали свои важнейшие открытия в области вычислительной геометрии или тригонометрии: мы можем отныне с тем большим основанием называть ее так, что арабы, подобно индусам, употребляли таблицы синусов вместо птолемеевских таблиц хорд. Само слово синус индусского происхождения: это точный латинский перевод арабского слова, представлявшего в свою очередь искажение индусского термина, означавшего синус.
Чтобы построить тригонометрическую таблицу, надо прежде
всего вычислить sin 1° или sin —°, которых нельзя определить
посредством квадратных уравнений; мы выше познакомились с решением кубических уравнений, служащих для нахождения этих значений.
Чаще всего для этого пользовались — как и впоследствии для вычисления синуса 10' — интерполяцией между синусами, которые можно было выразить посредством квадратных корней. В начале довольствовались интерполяцией, совершенно сходной с той, которой пользовался Птолемей; но впоследствии, во второй половине X в., великий астроном и математик Абуль Вафа ввел в Багдаде еще более тонкую интерполяцию. Он пользовался тем фактом, что разности синусов, соответствующие равноотстоящим дугам, убывают вместе с возрастанием самих дуг: этот способ давал ему в то же время возможность сулить о степени точности своих вычислений. Ему принадлежит таблица синусов через каждые десять минут с погрешностью порядка —. Наконец, для облегчения тригонометрических выкладок — там, где приходилось прибегать к пифагоровой теореме с ее беспрестанныv и новыми извлечениями квадратных корней, — он построил также таблицу тангенсов.
При применении этих таблиц стали пользоваться отчасти методом, содержащимся в „Аналемме" Птолемея, отчасти приложениями теоремы Менелая, указанными в „Альмагесте" Птолемея. Мало-помалу научились также пользоваться более непосредственно трудом Менелая, причем эти исследования явились исходным пунктом дла серьезного усовершенствования астрономических выкладок: примером этого может служить правило четырех величин, приведенное уже нами в связи с теоремой Менелая. Абуль Вафа первый усовершенствовал правила для Фиг. 29. этих выкладок, ради которых он построил
таблицы, более обширные, чем все предшествующие им; некоторые из его нововведений имели целью использовать возможно лучше новую таблицу тангенсов.

Благодаря тому, что уравнения третьей степени были исследованы тщательнее, чем в сочинениях греческих авторов, известных тогда и даже в настоящее время, удалось найти более прямые решения ряда задач, как поставленных греками, так и выдвинутых самими арабами. Из задач первого рода множество решений получила задача трисекции угла; так, у арабов встречается то самое решение, которое — в виду связи его с леммами Архимеда — мы, может быть, имеем право приписать последнему (ср. стр. 64). Алькухи дает также решение задачи об определении шарового сегмента по его объему и площади поверхности; решение это он снабдил методом для нахождения соответствующего диоризма — диоризма, который Архимед дает в конце второй книги своего сочинения о шаре и цилиндре.
Не найдя общего решения в радикалах уравнений третьей степени, арабы должны были придерживаться самих этих уравнений в зависящих от них и требующих практических вычислений задачах; впрочем, и в настоящее время для выкладок этот способ удобнее, чем применение общего решения.

Хотя решение кубического уравнения не было найдено арабами, но их многочисленные труды достаточно свидетельствуют об их интересе к этому вопросу. Главным исходным пунктом этих изысканий была задача Архимеда о делении iiiapa и старое решение ее посредством конических сечений, которое приписывают Архимеду или относят, по крайней мере, к его эпохе. Так как это решение, как мы видели, охватывает — или, по крайней мере, может быть легко приведено к такому виду, чтобы охватывать — все уравнения типа х3 + ах + b = 0, так как, кроме того, в нем определенно содержится условие равенства двух корней и так как легко либо свести к этому типу общее уравнение третьей степени, либо исследовать его тем же, по существу, способом, то в этом вопросе не приходилось преодолевать особенно значительных научных трудностей. Однако арабы в своем исследовании кубических уравнений пошли дальше, установив классификацию этих уравнений отчасти по знакам коэфициентов, отчасти по значениям последних, приводящим к большему или меньшему числу корней. Особенно подробная классификация этого рода встречается в алгебре Омара Альхайями. Рассматривая каждый отдельный класс названных уравнений, он показывает возможность решения их посредством конических сечений и указывает число корней— разумеется, положительных, ибо арабы не интересовались другими. Но в классификации Альхайями имеются и некоторые недостатки, вытекающие и того, что он не отличает диоризма, являющегося как раз главным достоинством греческого решения посредством конических сечений. Классификации других арабских, авторов (в частности Алькухи—Alkouhi), придерживавшихся сохраненной Эвтокием рукописи, составлены лучше.