Другое приложение стереографической проекции находится в „Географии" Птолемея.
Кроме стереографической проекции, основывающейся на очень тонких геометрических теориях, существовала еще другая, более простая, ортогональная проекция звезд на горизонтальную плоскость, плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. По сохранившемуся до нас под названием „Analemma" небольшому труду Птолемея можно познакомиться с построениями, связанными с этой системой прямоугольных координат в пространстве, построениями, похожими, между прочим, на операции начертательной геометрии, В сочинении этом имеются также важные приложения этих построений к тригонометрическим вычислениям, а также к проблемам механики.
Чтобы лучше понять характер этих приложений, рассмотрим один особенно простой случай, когда требуется найти высоту h и азимут со солнца на экваторе, зная высоту полюса <р и часовой угол v; последний мы будем вместе с греками отсчитывать от восхода солнца.
Однако Птолемей не ограничивается одними случаями, которые зависят в сферической тригонометрии от решения прямоугольных треугольников; он дает также построение высоты и азимута небесного светила по его склонению и часовому углу и по данной высоте полюса и показывает, как можно воспользоваться этим построением для тригонометрического вычисления; в нашей сферической тригонометрии это вычисление свелось бы к решению косоугольного сферического треугольника по одному углу и двум прилежащим сторонам. Он указывает также, как молено получить дневную дугу какой-нибудь звезды по ее склонению: задача эта была известна уже Гиппарху, которой решал ее, вероятно, тем же самым способом.
Надо думать, что методы эти были во времена Птоломея известны всем греческим астрономам, от которых они перешли впоследствии к индусам, арабам и в новое время — к европейцам.

Из области сферической геометрии мы имеем в „Началах" лишь теорему об отношении между объемами различных шаров, к которой Архимед, как известно, прибавил теоремы, дававшие точное выражение поверхности и объема шара; но астрономы не могли ограничиться этим, — ведь им нужны были средства для определения положения на шаре точек, — звезд на небе, мест на земле. Для этого они стали относить все к некоторому большому кругу, считавшемуся так или иначе известным, — горизонту, экватору или эклиптике на небе, экватору на земле. По существу, способ этот не отличается от употребления нами теперь обыкновенных сферических координат. Когда Эратосфен, желая вычислить размеры земли, измерял расстояние между двумя расположенными на одном меридиане местами, разность широт которых известна, то он пользовался этим способом. Правда, названия широты и долготы встречаются лишь в „Географии" Птолемея. Мы должны, впрочем, напомнить здесь, что употребляемое в двенадцатой книге „Начал" деление шара в точности соответствует делению с помощью подобных координат.
На изготовленном рукой токаря шаре можно продемонстрировать более или менее прямое приложение сферических координат для изображения небесных или земных точек. Нет сомнения, что так и поступали для небесных точек.
Благодаря исключительному развитию геометрии у греков они в состоянии были решать и более трудные задачи, как, например, задачу отображения шара на плоскости; они делали даже различные приложения столь важной и интересной с геометрической точки зрения стереографической проекции. Эта проекция состоит, как известно, в центральной проекции шара из некоторой определенной точки его поверхности на большой круг, для которого эта точка является полюсом. Ее характерными особенностями является то, во-первых, что проекцией каждого проведенного на шаре круга является круг на плоскости и, во-вторых, что углы сохраняют свою величину.
По сохранившимся до нас приложениям этого вида проекции мы знаем, что грекам было известно, по крайней мере, первое из этих свойств, тесно связанное с теорией двух систем круговых сечений наклонного конуса. Уже Архимед занимался определением этих круговых сечений, но гораздо обстоятельнее развил теорию различных сечений одного и того же конуса Аполлоний. Таким образом стереографическую проекцию можно рассматривать как побочный результат теорий Архимеда и Аполлония. Во времена Гиппарха ее приложили к прибору, служившему для определения времени ночью по высоте в данный момент некоторой известной звезды . Для этого пользовались двумя дисками: на одном из них находились проекции известных звезд, на другом — проекции горизонта и параллельных ему кругов (аль~ мункатаратов), причем центром проекции служил небесный южный полюс; при пользовании этим прибором поворачивали просто один из дисков вокруг изображения северного полюса, пока наблюдаемая звезда не оказывалась на альмункатарате, соответствующем ее высоте.

Произведенное Аполлонием вычисление Пи должно было привести к еще более точному вычислению синуса небольшой дуги или той величины, значения которой, собранные в таблицы, были сохранены для нас позднейшими греческими астрономами — мы имеем в виду хорду двойной дуге. Чтобы "построить полную таблицу хорд дуг, кратных данной небольшой дуге, достаточно знать лишь теорему о вписанных четыреугольниках—так называемую теперь птоломееву теорему, названную так потому, что Птолемей пользуется именно ею для вычисления своей таблицы хорд — или же знать какую-нибудь другую аналогичную теорему. Подобная теорема могла быть легко открыта во времена Архимеда к Аполлония или после них, когда возникла насущная потребность в таблице хорд. Однако главная трудность заключалась и здесь, разумеется, в достаточно точном извлечении квадратных корней. Но именно эта трудность и явилась причиной усовершенствования употреблявшихся методов; как мы уже сказали раньше , достигнутые здесь успехи были связаны с введением шестидесятиричных дробей.
Первая достоверно засвидетельствованная таблица хорд дуг относится ко второму веку до начала н. э.; составленная великим астрономом Гиппархом, она, как и другая, более близкая к нам по времени, таблица Менелая, была утеряна. Зато до нас сохранилась таблица хорд, содержащаяся в птолемеевом Альмагесте и составленная через каждые полградуса до дуги в 180°. Основанная на предшествовавших ей таблицах, она, несомненно, была более полной й точной, а так как синус какой-нибудь дуги есть половина хорды двойной дуги, то эта таблица играла ту же роль, какую играет таблица синусов дуг до 90°, составленная через каждую четверть градуса. Диаметр окружности принимается равным 120, хорды выражены по шестидесятиричной системе в целых, минутах и секундах, т. е. как и при общепринятой системе измерения углов — в дробях, имеющих знаменателями 60 и 602; таким образом отношение хорд к диаметру дано в дробях с знаменателем 432000. В целях интерполяции прибавлены тридцатые доли разностей между двумя последовательными хордами, доли, соответствующие дуговым разницам в одну минуту.

В школе Эвдокса, а особенно в школе Платона, это равнодушие наверное, оправдывали так же, как и пренебрежение подробным вычислением иррациональных величин: так как в эмпирических определениях (determinations) невозможна математическая точность, то приходится довольствоваться грубым определением. Если из подобных определений делали постулаты, то оставалось только вывести из них с абсолютной строгостью результаты, вытекающие из раз принятых гипотез.
Хотя, таким образом, стали пренебрегать измерением углов, но в астрономии никак нельзя было отделаться от вопроса о величинах углов; величины эти могли представляться, например, как отношения между временами, требующимися для описания равномерным движением какой-нибудь дуги и целой окружности. Примером того, как применяли тогда вычисление этого рода к точным математическим дедукциям, и примером в то же время неточности тогдашних измерений углов, является исследование Аристархом самосским расстояний и величин солнца и луны, В этом сохранившемся до нас исследовании — для которого у Аристарха были предшественники, в. частности Эвдокс — пользуются для определения расстояния луны от земли радиусом земной тени — радиусом, отношение которого к радиусу луны вычисляют на основании продолжительности затмения—и угловым расстоянием между солнцем и луной в тот момент, когда освещена ровно половина диска последней. Затем, основываясь на теории пропорций, определяют отношения между расстояниями и радиусами, вышеназванный же угол находят в угловых мерах.

На примере того, что мы назвали интегрированиями Архимеда, на примере аполлониевой теории конических сечений и сделанных из нее греками приложений к решению вопросов, зависящих, выражаясь языком нашего анализа, от уравнений третьей и четвертой степени, мы можем убедиться, до какой высоты древние подняли геометрию, а также другие разрабатывавшиеся ими области математики, облеченные в геометрическую форму. Мы видели также, с какой строгостью стремились обеспечить всеобщую значимость математики. Но наряду с этим нам пришлось не раз указывать на то, что под влиянием этого стремления к общезначимым результатам древние обращали слишком мало внимания на развитие вычисления, благодаря которому математика и могла только получить практическое приложение.
Разумеется, древние не пренебрегали совершенно этой стороной дела: они продолжали применять к измерению земли геометрические предложения, заимствованные у египетских землемеров, прибавив к этому еще ряд простейших, открытых ими самими-теорем. Было бы, разумеется, нелепо допустить, что проницательные математики, сумевшие придать полученным ими результатам столь общую форму, не понимали практического значения этих результатов, в частности, для решения представлявшихся в практике числовых проблем. Ученые, разработавшие столь утонченную теорию пропорций, не могли, конечно, не знать, как решаются, скажем, задачи на простое или сложное тройное правило.
Если судить по собранию задач Герона (у которого, между прочим, можно встретить одну геометрическую теорему, имевшую непосредственнейшее приложение на практике — именно вычисление площади треугольника по трем сторонам его), то древние применяли числовым образом, по крайней мере, простейшие теоремы планиметрии и стереометрии и решали уравнения второй степени. Но ограниченная область геометрии, откуда черпались эти приложения, а также незначительная степень точности, которой довольствовался в своих выкладках Герон, достаточно объясняют, почему мы имеем право ставить невысоко эту сторону греческой математики.
Этот низкий уровень приложений, математики к практическим выкладкам, наблюдаемый в эпоху расцвета греческой геометрии^ объясняется не только недостатком способности к вычислениям, о котором мы говорили уже выше , но также тем, что сами результаты этой геометрии не особенно годились для таких приложений. Задачи, как мы знаем, решались с помощью построений, которые, разумеется, можно было нередко превращать в вычислительные операции, как это и делалось, наверное, задолго до Герона. Однако даже в рамках элементарной геометрии существует одна важная область, в которой превращение этого рода невозможно,—именно область задач, когда величинами, определяемыми друг через друга, оказываются не только отрезки, площади, или объемы, а также и углы. Иными словами, даже в. лучшие дни александрийской эпохи греки не имели еще тригонометрии,— пробел, который должны были только начать заполнять великие геометры и астрономы той эпохи.

Наипростейшая пространственная задача относится к двучленному кубическому уравнению; мы уже познакомились с ней в связи с задачей удвоения куба, и мы могли одновременно с этим убедиться в том, что первоначально пользование коническими сечениями было связано с решением этого вопроса. Мы имеем далее другие образцы вопросов этого рода в случае задачи о трисекции угла или о вставках, к которым сводится эта трисекция; мы указали, кроме того, что Архимед в своем „Трактате о спиралях" тоже пользуется при разных случаях этими самыми вставками. Папп сообщает нам, как производили эти вставки с помощью конических сечений.
Но наиболее важными примерами решения пространственных задач с помощью конических сечений, относящимися к поре высшего расцвета греческой математики, являются дошедший до нас анализ уравнения, к которому Архимед сводит свою проблему деления шара (см. выше), и затем приводимое в пятой книге Аполлония построение нормали к коническому сечению из данной точки. Особенный интерес представляют эти решения благодаря той тщательности, с которой рассматриваются условия возможности задачи, а также благодаря заботливому разбору числа решений, получаемых в различных случаях в зависимости от различных значений, принимаемых данными величинами. Нетрудно здесь убедиться, что построение с помощью конических сечений является не столько средством (между прочим, весьма недостаточным) найти искомые величины, сколько, скорее, превосходным теоретическим методом выяснить случаи, когда они существуют, — что находится в полном соответствии со всем сказанным уже нами относительно цели геометрических построений у греков. Нахожение полученных таким образом максимальных и минимальных значений для данных величин приводит к важным геометрическим теоремам, являвшимся главной целью исследования.

Специальное указание Аполлония на введенное им при рассмотрении этих вопросов усовершенствование достаточно свидетельствует о том крупном значении и о том внимании, которое уделяли геометрическим местам к четырем и трем прямым.
С этим вопросом о геометрических местах к четырем прямым связано, может быть, еще другое утраченное произведение Аполл-ния, именно „Трактат об определенном сечении". Действительно, известно, что в этой книге решалась и тщательно разбиралась задача о построении на некоторой прямой точек, расстояния которых от двух пар точек, расположенных на той же самой прямой, образуют прямоугольники, находящиеся между собой в некотором данном отношении. Задача эта легко сводится к нахождению точек пересечения некоторой прямой и некоторого геометрического места к четырем прямым, причем все четыре расстояния берутся параллельными данной прямой. Если рассматривать дело таким образом, то задача нахождения геометрического места к четырем прямым совпадает с теоремой об инволюции точек пересечения прямой с коническим сечением и с противоположными сторонами вписанного в него четыреугольника, теоремой, вновь найденной впоследствии Дезаргом (Desargues) и носящей его имя. Нет сомнения, что в „Трактате об определенном сеченииu содержались некоторые важные части современной теории инволюции.
Таким образом первоначально, как мы думаем, пространственными задачами называли задачи, которые зависели от уравнений третьей степени и которые представляли стереометрическим образом; впоследствии же так стали называть решения с помощью конических сечений, а также под конец и задачи, которые, выраженные аналитически, зависели бы от уравнений четвертой степени.

Как мы уже указали, первоначальной целью теории конических сечений было получение геометрических мест, пригодных при решении задач, для которых оказались недостаточными прямая и круг. Задачи, решаемые с помощью прямой и круга, называются плоскими задачами, а прямая и круг, рассматриваемые как геометрические места, называются плоскими местами. В позднейшей древности предполагали, что это последнее название — первоначальное, ибо первоначально рассматриваемые линии (прямую и круг) характеризовали тем, что они расположены в плоскости. Но с такой же вероятностью можно допустить, что название плоских относилось первоначально к задачам, которые зависят от уравнений не выше второй степени и которые, следовательно, представляются в геометрической алгебре, в плоскости, отношениями между площадями.
Если принять это последнее предположение, то название пространственных задач должно было применяться первоначально к задачам, зависящим от уравнений третьей степени и выражающимся отношениями между параллелепипедами. Что касается термина пространственные места, то он означает геометрические места, представленные коническими сечениями, и можно предположить, что свое название они получили оттого, что предназначались для решения пространственных задач. Однако в позднегреческую эпоху допускали, наоборот, что название пространственные жеста — первоначальное и что оно происходит от стереометрического определения конических сечений.
К несчастью, сочинение Аристея, в котором конические сечения, несомненно, рассматривались как геометрические места, оказалось утерянным, а о позднейших трудах, преследовавших ту же самую цель, мы ничего не знаем. Но так как теория конических сечений Аполлония разбирает тот же самый вопрос с другой стороны, то из нее можно сделать вывод, какие были известны или какие, по крайней мере, можно было найти пространственные места, когда требовалось применить их к какой-нибудь задаче. Уже из первой книги Аполлония видно, что так оно должно было быть в том случае, когда некоторые данные прямые можно было сразу рассматривать как сопряженные диаметры, и даже в более сложных случаях: действительно, в теореме площадей кривую относят к двум несопряженным диаметрам.
Но третья книга дает нам возможность проникнуть глубже в суть вопроса благодаря, во-первых, своему более общему-характеру, а во-вторых, благодаря тому, что Аполлоний определенно указывает поставленную им себе здесь цель. Пользуясь в этой книге более совершенными методами, благодаря введению обеих ветвей гиперболы, Аполлоний может, по собственному его признанию, исправить недостатки прежнего способа определения пространственных мест.

В четвертой книге определяется наибольшее число точек пересечения двух конических сечений. В предисловии Аполлоний определенно заявляет, что его собственный вклад в теорию заключается, главным образом, в том, что он привлек к рассмотрению обе ветви гиперболы — обстоятельство, играющее здесь кардинальную роль. О пятой книге мы будем говорить подробнее, когда займемся вопросом о том, как древние изучали пространственные задачи.
В шестой книге говорится, с одной стороны, о подобных конических сечениях; с другой же,— в ней содержатся некоторые обобщения начатых еще в первой книге построений, относящихся к конусам, проходящим через данные конические сечения.
В седьмой книге содержится довольно значительное количество выражений для некоторых функций длин сопряженных диаметров, параметров и т. д. Здесь встречаются некоторые важные теоремы, как, например, следующие: площадь треугольника, образованного двумя сопряженными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, — постоянна (в случае гиперболы два рассматриваемых сопряженных диаметра представляют диаметры сопряженных гипербол); сумма или разность квадратов сопряженных диаметров постоянна. В тех случаях, когда такого рода функции не обладают постоянным значением, отыскиваются их максимальные и минимальные значения.
Наконец, в седьмой книге даются доказательства, относящиеся к диоризмам задач, которые должны были быть решены в утерянной для нас восьмой книге, —по крайней мере, так говорится з предисловии. На основании этого мы можем предположить, что задачи эти имели целью найти сопряженные диаметры, для которых названные функции имеют данные значения. Найденные з седьмой книге выражения для этих функций непосредственно давали бы в этом случае уравнения, необходимые для решения задач.
В таком именно духе и была восстановлена Галлеем (Halley) восьмая книга.

В третьей книге рассматриваются, прежде всего, свойства точек кривых, независимые от диаметров и осей. Аполлоний выводит их без труда из названной уже нами теоремы площадей, сводящейся фактически к отнесению кривой к двум несопряженным диаметрам. Легко понять, что это является также отличным исходным пунктом для доказательства известной уже Архимеду теоремы о степени, — теоремы, относящейся к хордам, имеющим данное, но произвольно выбранное направление. В этой книге встречаются также главные теоремы о полюсах и полярах и, наконец, — получение конического сечения с помощью двух пучков прямых, называемых в настоящее время проективными или гомографтескими: вершинами этих пучков являются любые точки А и С кривой, а соответствующие прямые AM и СМ характеризуются тем, что они отсекают на прямых, провеленных через С и Л параллельно касательным в Л и С, такие отрезки СР и AQ, что построенный на них прямоугольник обладает постоянной площадью.
Легко заметить, что все эти предложения неполны и даже мало понятны, если рассматривать только одну ветвь гиперболы. Поэтому ясно, какие выгоды представляет рассмотрение обеих ветвей гиперболы, как это начал делать — особенно в третьей книге своего труда,— Аполлоний, который благодаря этому возвышается над всеми прежними исследователями этого вопроса, хотя отдельные теоремы — в более ограниченном виде — и были известны до него.
Другая группа предложений той же книги относится к вопросу о простейших случаях проведения касательных, не пользуясь точками касания. В частности, здесь указывается, как провести касательные к гиперболе, рассматривая их как прямые, которые отсекают на асимптотах, считая от центра, отрезки, образующие прямоугольник с постоянной площадью, или же, как провести касательные к эллипсу и гиперболе, рассматривая их как прямые, отсекающие на параллельных между собой и неизменных касательных, считая от их точек касания, отрезки, образующие
прямоугольник с постоянной площадью. Касательные к параболе находятся как прямые, точки пересечения которых с неизменными касательными проходят одновременно пропорциональные отрезки.