Во второй книге выясняются основные свойства асимптот и сопряженных диаметров. В ней рассматриваются, кроме обеих ветвей какой-нибудь гиперболы, еще и сопряженные гиперболы, расположенные в различных углах, образуемых асимптотами, и имеющие диаметры одинаковой длины. Дело в том, что даже диаметрам, не пересекающим кривых, приписываются определенные длины, совпадающие фактически с теми, какими мы пользуемся в настоящее время. В этой книге решаются еще различные задачи о диаметрах и асимптотах, в частности, построение центров и осей данного конического сечения, построение касательной, образующей данный угол с диаметром, проводящим через топку касания, и т. д.

Однако геометрическая форма, приданная этим методом самой алгебре, была причиной многочисленных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования, комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической геометрии, в особенности, поскольку последняя стремилась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисления. Наоборот, древние методы более похожи на современную трактовку аналитической геометрии, при которой учитываются также геометрические значения производимых операций.
Разумеется, мы не в состоянии проследить здесь в подробностях все те представленные в геометрической форме преобразования уравнений кривой, с помощью которых достигают мало-по-малу конечного результата, являющегося главной, как мы сказали, целью книги; но в качестве примера мы приведем все же одну из промежуточных теорем, играющую кардинальную роль как в рассматриваемой книге, так и позже, в вопросах, которым посвящена третья книга.

Чтобы составить себе точное представление о приемах Аполлония, лучше всего сравнить их с алгебраическим преобразованием уравнений по отношению к новым системам координат, обычно употребляемым в настоящее время в аналитической геометрии, или же сравнить их вообще с алгебраическими операциями аналитической геометрии. Сам Аполлоний обращается лишь к ресурсам геометрической алгебры, оказывающейся здесь очень удобной; в этом можно легко убедиться, рассматривая геометрическую форму, служившую Аполлонию для изображения уравнений конических сечений, которые он вывел вначале на основании соображений стереометрического поряд. ка; в этих уравнениях, как мы ви_ дели, кривые отнесены к некото _ рому диаметру и сопряжением с ним полухордам, как к осям координат.

Новизна исходной точки исследования Аполлония заключается в следущем: вместо того чтобы рассматривать сечения конусов вращения плоскостями, находящимися в определенном положении, Аполлоний сразу же приступает к изучению произвольных плоских сечений произвольных конусов с круговым основанием. Затем, чтобы связать с этими сечениями некоторое планиметрическое свойство, способное лечь в основу для дальнейшего исследования кривых, Аполлоний обобщает прием, служивший Архимеду при изучении сечений, перпендикулярных к плоскости симметрии конуса. Но благодаря этому обобщению и указанное планиметрическое свойство принимает более общий характер; оно имеет уже место не только при отнесении конического сечения к одной из его осей и к сопряженным полухордам в качестве осей координат, но также и при отнесении кривой к любому ее диаметру и сопряженным с ним хордам. Это обстоятельство нужно иметь в виду, если желать правильно понять ход изложения книги.
Таким образом вначале мы знаем об искомых кривых лишь то, что они обладают вышеупомянутым свойством по отношению к некоторому диаметру и системе сопряженных с ним хорд, образующих, вообще, острый угол с этим диаметром. Затем, в ходе изложения оказывается, что они обладают тем же самым свойством по отношению к бесчисленному множеству диаметров, а в конце книги строятся такие диаметры, которые перпендикулярны к сопряженным с ними хордам, и указывается, что отнесенные к этим диаметрам кривые можно рассматривать как сечения конуса вращения.
Только теперь обнаруживается полное тождество между кривыми, изучаемыми Аполлонием, и коническими сечениями, рассматривавшимися до него.
Этот конечный результат являлся, собственно, основной целью Аполлония при составлении им своей первой книги. Но попутно он иногда был вынуждаем, иногда же сам пользовался случаем изложить некоторые свойства, которые должны найти приложение в позднейших книгах или которые представляют самостоятельный интерес: так, например, теория касательных и проведения их служит введением к основной задаче книги, именно учению о диаметрах для систем параллельных хорд.

Если Эвклиду мы обязаны знакомством с элементарной геометрией древних, то их теорию конических сечений мы знаем, главным образом, по великому труду Аполлония. Однако из восьми книг этого труда сохранилось лишь семь, из них первые четыре — по-гречески, остальные три — в арабском переводе.
Первые четыре книги содержат то, что называют начатками теории конических сечении, т. е. систематическое изложение главных свойств этих сечений; эти свойства служат затем как для приложения теории к решению задач на построение посредством пространственных мест, так и для более специальных исследований дальнейших свойств конических сечений. Наоборот, следующие книги посвящены именно такого рода специальным изысканиям. Так, например, пятая книга, занимающаяся вопросом о нормалях к коническим сечениям и о построении нормалей, выходящ IX из данной точки, представляет наиболее полный сохранившийся до нас образчик приложения конических сечений к построениям и, вместе с тем, образец тонкого теоретического исследования, связанного с подобными построениями.
Но все же объем сведений древних в области конических сечений мы узнаем, главным образом, из первых четырех книг. Поэтому мы остановимся на изложении их довольно подробно не только для того, чтобы дать обзор сведений древних в теории конических сечений, но и для того, чтобы выяснить, каким образом они могли достигнуть полученных ими в этой области результатов.
Рассмотрим же, как устанавливается в первой книге основа всей теории.
Хотя исходный пункт работы Аполлония не тот, что у его предшественников, но из его предисловия ясно, что теоремы.
из которых складывается эта основа, в значительной мере — те же самые, какими пользовались его предшественники. Однако в теоремах, относящихся к гиперболе, у Аполлония наблюдается значительный прогресс; хотя он называет обе ветви гиперболы противолежащими гиперболами, но он рассматривает их, как одну единственную кривую, достигая, таким образом, в теоремах об эллипсе и гиперболе однородности, которая возможна лишь при таком подходе к вопросу.

Мы обратимся теперь к индусской математике, которая призвана была оказать совершенно исключительное влияние на ход развития нашей науки, хотя в совершенно другом направлении, чем греческая математика. Надо заметить, впрочем, что влияние это обнаружилось гораздо более благодаря непосредственному ознакомлению с индусской арифметикой, чем благодаря авторам, имена которых нам придется упомянуть Однако этим авторам мы обязаны возможностью познакомиться непосредственным образом с тем, что знали и на что вообще способны были индусские математики. Они писали по-санскригски, — языке давно уже мертвом к тому времени, но употреблявшемся браминами в их религиозных и научных книгах таким же образом, каким впоследствии в Европе пользовались латынью.
У наиболее старых из этих авторов мы встречаем геометрические правила для черчения плана храмов, похожие на правила, употреблявшиеся в древнем Египте гарпедонаптами, и обнаруживающие следы влияния греческой геометрии. В частности, мы находим здесь некоторые из преобразований, употреблявшихся в геометрической алгебре.

Действительно, благодаря торговле Александрия завязала сношения с индусами; но последние, как мы увидим, обладали большим искусством в наименовании чисел, изображении их и в выкладках с ними; это искусство существовало у них еще до изобретения ими позиционной системы, т. е. употребляемога теперь способа начертания чисел. Благодаря торговым сношениям оно могло оказать свое действие на тогдашних греков, уровень математических знаний которых продолжал еще оставаться достаточно высоким, чтобы они могли воспользоваться этим. С своей стороны и индусы усвоили часть математических достижений греков и, как мы увидим вскоре, они сумели воспользоваться этим, особенно в тех случаях, когда они могли превратить их в числовые операции,— не сумев, впрочем, никогда проникнуть глубже в строгие теоретические умозрения греков.
Что касается, в частности, символики Диофанта, отчасти отличающейся от символики, которую мы встречаем у значительно более поздних индусских авторов, труды которых дошли до нас, то нет оснований видеть в ней какое-нибудь заимствование у чужих лиц. Действительно, употребляемые им сокращения запрашиваются сами собой, лишь только возникает желание сообщить другим комбинации, составленные из известных к неизвестных чисел, или же собираются просто зафиксировать их для ламяти, не прибегая к прежнему геометрическому способу представления. Кто употребил только один раз эти сокращения, тот не мог не заметить сразу их огромных преимуществ для отчетливого обозрения всего хода выкладок. Поэтому в символике Диофанта не приходится видеть непременно продукта постепенной эволюции: она может отлично быть делом рук самого Диофанта или одного из его предшественников.
Наконец, мы желаем уже здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочинениями Диофанта. Благодаря тому, что определенные уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку, они оказались гораздо более доступными для людей, не посвященных еще в культуру греческой математики; более доступными, чем те абстрактные геометрические формы, которые принимают у Эвклида уравнения второй степени и которые мы встречаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому Диофант и явился главным посредником в процессе усвоения греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою очередь, она проникла в Европу в эпоху возрождения наук.
Мы не знаем, какое влияние оказал на индусскую математику диофантов метод решения неопределенных уравнений. Но зато можно быть уверенным, что арабские авторы продолжали его дело в указанном им направлении. Что же касается Европы, то когда здесь познакомились, наконец, с Диофантом не через посредство арабских переводчиков, а в оригинале, то для исследований по теории чисел началась новая эра расцвета: в этом отношении нам достаточно напомнить, что Ферма (Fermat) глубоко изучил творения Диофанта.

Могло бы казаться, что этот недостаток символов для обозначения неизвестных влечет за собой особенные трудности при решении неопределенных задач. В действительности это не так, ибо обыкновенно в задачах этих требуется в очень общих выражениях, чтобы некоторая составная величина была квадратом или чем-нибудь подобным, а тогда нет никакой нужды в специальных обозначениях для квадратного корня этой величины и т. д.
В арифметическом творчестве Диофанта величайшего внимания заслуживают именно эти неопределенные задачи, для которых необходимо найти рациональные решения. Вообще говоря, Диофант старается найти какое-нибудь одно решение задачи, не отыскивая общего решения ее, которое включает в себе все возможные частные решения; но не следует придавать особенного значения этому факту, если желать понять полученные Диофантом результаты, ибо его частные решения заключаются лишь в том, что он сейчас же придает определенные значения вспомогательным количествам, служащим для решения задачи. В этих случаях — как, впрочем, и в других, упомянутых выше, — он, конечно, не мог не заметить, что эти вспомогательные количества способны принимать и другие значения, кроме тех, которые он им приписывает. В этом можно в особенности убедиться тогда, когда он принимает, что образованная определенным образом величина должна быть квадратом и одновременно с этим выполнять другое условие, ибо в этом случае недостаточно придать определенное значение вспомогательной величине, которая приводит к квадрату. Наоборот, эта величина становится сама неизвестной величиной х, посредством которой Диофант должен вообще выразить первоначальные искомые величины, чтобы затем определить х с помощью второго заданного условия.
Издатель Диофанта в XVII в. Баше де-Мезириак (Bachet de Meziriac) в связи с названными задачами исследовал сам вопрос о целочисленных решениях. Впрочем, мы увидим, что индусы решили полностью эту задачу еще до него.
Возникает вопрос, что, собственно, в труде Диофанта является; продуктом его самостоятельного творчества, а что принадлежит другим исследователям? К сожалению, у нас мало данных для ответа на этот вопрос. Мы указали, что в эпоху создания греческой математики ученые занимались уже вопросами того же самого рода, которые исследовал Диофант, и если имеется так мало следов этого в сохранившихся до нас работах этих ученых» то потому, что по самому характеру этих работ в них не была места для вопросов названного рода. Тем не менее, я не думаю,
чтобы ряд задач Диофанта мог относиться к этой эпохе, ибо, судя по общему впечатлению, греческие математики периода наивысшего расцвета математики не обладали тем искусством в вычислениях, которое поражает нас у этого автора. С другой стороны, столь обширное собрание разнообразнейших задач, каким является труд Диофанта, не может, конечно, быть продуктом творчества одного человека. Поэтому правильнее всего предположить, что задачи эти возникли еще в самую раннюю пору,, вероятно, вскоре после открытия иррациональных количеств; в дальнейшем они продолжали накопляться даже после эпохи,, когда основной массив греческой математики перестал развиваться, может быть, даже до времени Диофанта, со своей стороны значительно приумножившего это собрание.
Таким образом мы имеем здесь перед собой непрекращающееся развитие одной обособленной отрасли математики. Эта зависело, без сомнения, от того, что мало-по-малу развилось столь важное для этой отрасли искусство в вычислениях, отчасти в связи с потребностями астрономии, отчасти благодаря соприкосновению греческой культуры с культурой другого народа,, индусов.

Но у диофантовой символики имеется один очень существенный недостаток: в ней имеются знаки только для одной единственной неизвестной и различных степеней ее. Распространение ее на две неизвестные потребовало бы создания двенадцати новых символов, потому что для каждой степени имеется свой особый символ; этого, конечно, не сделали. Но сама недостаточность орудия, как это часто бывает, явилась для пользовавшегося им, поводом обнаружить все свое искусство.
Диофант обнаруживает его не только при употреблении вышеупомянутых пробных значений для неизвестных, которых юн не может назвать, но еще и другим способом. Так, когда какая-нибудь задача содержит несколько неизвестных, которые должны быть определены при помощи различных данных, то он выбирает среди неизвестных ту, к которой он применяет свою символику (и которую мы назовем здесь х) таким образом, что уже с самого начала он может посредством нее выразить все остальные неизвестные. Впрочем, иногда обозначения не сохраняются неизменными на протяжении какой-нибудь задачи. Так, например, вначале неизвестная будет обозначаться через х\ в ходе дальнейших выкладок тот же самый х употребляется для обозначения второй и третьей неизвестной, и наконец, когда после определения этих последних возвращаются к главному вопросу, то первая неизвестная снова обозначается через х.
Отсюда ясно, что Диофант должен был производить в уме и излагать словесным образом то, что мы называем исключением (элиминированием); но зато это представляло умственное упражнение, побуждавшее его выбирать свои неизвестные таким образом, чтобы элиминирование было по возможности простым.

Для выкладок в обратном направлении, требуемых такими пробами, нужна большая ловкость в манипулировании числами и умение быстро обозреть предпринимаемые с ними действия. Диофант в отличие от древних греческих математиков, труды которых до нас дошли, обнаруживает эти качества, но этого калькуляторского искусства не всегда было достаточно. А так как Диофант отказывался от геометрического представления чисел, то он нуждался в новом средстве для обозначения неизвестного количества, а также простых функций его. Диофант находит его в системе алгебраических символов, и хотя символы эти являются лишь сокращениями слов письменной речи и далеко не представляют совершенного способа выражения для алгебраических операций, все же они выполняют наиболее элементарное из предъявляемых к символике требований — они обеспечивают более легкое и более быстрое обозрение производимых выкладок, чем этого можно добиться словесным изложением.
Неизвестная представлена символом, вероятно, сокращением, похожим на опрокинутую с, — насколько можно, по крайней мере, судить по рукописям; степени его обозначены сокращениями греческих слов, выражающими понятие квадрата и т. д.; аналогичные знаки имеются для дробей с числителями, равными 1, и знаменателями, равными самим этим величинам.