Возможно, что пифагорейские изыскания в области теории чисел являлись частично продолжением мистических выкладок вавилонян; но наряду с этим им удалось добиться составления квадратных уравнений, свободных от иррациональных корней.
В исследованиях общего порядка нельзя избегнуть иррациональных величин; благодаря этому прежние математические методы оказались не вполне надежными, и большой заслугой пифагорейцев является т о, что они заметили это.
С пропорциями тогда были уже хорошо знакомы, и, вероятно, уже с ранних пормими пользовались в том или ином виде. Но до Эвдокса речь могла итти лишь о равенстве отношений между целыми числами или о равенстве этих отношений отношениям между геометрическими величинами, которые, следовательно, должны были быть соизмеримыми; в ходу были простые арифметические действия, как, нап имер, умножение; по примеру египтян, знали,что прямоугольник равен произведению сторон, причем единицей площади являлся квадрат, построенный на единице длины; но если стороны прямоугольника несоизмеримы, то не только нельзя применить доказательства путем деления прямоугольника на квадраты, но и сама теорема теряет всякий смысл, ибо представление о произведении, как им пользуются в обычном исчислении, не вяжется с тем, что множители этого произведения являются иррациональными числами.
Это затруднение пифагорейцы, а за ними греческие математики преодолели путем геометрического представления величин вообще. На первый взгляд преимущества такого геометрического представления могут показаться ничтожными, ибо любой отрезок обладает такой же определенной величиной, как и взятое произвольное число, но, в действительности, нарисованная фигура служит лишь материальным знаком для выражения понятия фигуры, а здесь величины могут принимать все значения, совместимые с требованиями такого понятия. Так, представление величины длиной отрезка может, подобно буквам в алгебре, применяться к величинам, изменяющимся непрерывным образом.
Греки, без сомнения, не имели никакого представления об отрицательных количествах, а также о количествах мнимых. Но за отсутствием первых изменения геометрической фигуры могут до известной степени позволить те же обобщения, которые мы получаем в настоящее время с помощью отрицательных величин.

Ряд теорем восьмой книги „Начал" введен, вероятно, первоначально с этой целью; это относится, например, к шестой теореме, утверждающей,—хотя и в другой форме, — что степень несократимой дроби должна быть, в свою очередь, несократимой дробью. Таково, во всяком случае, общее доказательство, которым пользовались впоследствии, как это видно из комментария Эвтокия к Архимеду.
Однако Эвклид в десятой книге „Начал" дает еще общий способ проверки рациональности какой-нибудь величины или, — что сводится к одному и тому же—-соизмеримости двух величин. Способ этот сводится к тому же алгорифму, с помощью которого находят общую наибольшую меру двух величин. Представив эти величины с помощью двух отрезков, наносят меньший из них b на больший до тех пор, пока не получится остаток с, меньший Ь, затем таким же образом наносят с на b и т. д.; если операцию приходится продолжать до бесконечности, то сравниваемые величины несоизмеримы. Этим способом легко убедиться, что отрезок, разделенный в среднем и крайнем отношении, дает два отрезка, несоизмеримые между собой и с первоначальным целым отрезком.Так как корни уравнений второй степени в случае несоизмеримости их с заданными величинами не могут быть выражены точным образом с помощью этих величин, то понятно, что греки в своих точных вычислениях не вводили никаких приближенных значений, а только продолжали действия с найденными количествами, изображенными отрезками, которые получались при построении, соответствовавшем решению задачи. По существу мы поступаем таким же образом, когда вместо вычисления корней мы довольствуемся выражением их с помощью знаков квадратного корня или других алгебраических символов.

Из совпадения результатов приложения геометрической алгебры и арифметики к прямоугольникам следует, что естественно было перенести найденное для квадратных уравнений общее решение на заданные численно уравнения. Здесь, однако, возникало одно неудобство: корни были, вообще говоря, иррациональными.
Исследователи выискивали случаи, свободные от этого неудобства; это видно хотя бы из попыток решения неопределенных уравнений вида х2 + у2 = z2. Но в геометрических задачах или в случае других приложений приходилось брать величины такими, какими они были, и если невозможно было найти рациональное решение, т. е. решение, выразимое точно в числах, то оставалось сделать следующие две вещи: 1) доказать, что искомые количества действительно не были рациональными и, перейдя к уравнениям, где заданые величины были уже иррациональными, классифицировать различные представляющиеся иррациональные количества; 2) в приложениях вычислять иррациональные количества с максимально возможным приближением.

Однако ясно, что геометрическая алгебра в своем приложении к прямоугольникам — и даже параллелограмам, ибо в ней никогда не вводят определенных единиц и оперируют, таким образом, всегда однородными уравнениями — ясно, что эта алгебра включает и геометрическую арифметику; действительно, только в этом случае можно заменить точки, представляющие в арифметике единицы, равными квадратами или параллелограмами.

Преобразование прямолинейной фигуры в прямоугольник не представляет особенных трудностей; Эвклид, кроме того, показывает нам, как можно преобразовать прямоугольник в квадрат, не прибегая к средним пропорциональным и не опираясь на теорию пропорций, бывшую еще несовершенной до Эвдокса. В своей книге II, 14 он пользуется для этого лишь геометрической алгеброй; действительно, построение основывается на вышеупомянутой теореме II, 5 (или 6), согласно которой прямоугольник можно представить как разность двух квадратов. Сторона квадрата, равного прямоугольнику, получается затем с помощью пифагоровой теоремы.
Однако изложенные здесь начатки геометрической алгебры касаются, главным образом, уравнений второй степени, т. е. той области, где, в связи с появлением иррациональных величин, почувствовалась необходимость иного представления величин, чем посредством чисел. При рассмотрении этих уравнении можно было ограничиться употреблением прямоугольников и квадратов, если только заданные величины не были представлены площадью какой-нибудь другой фигуры; но по мере дальнейшего развития геометрической алгебры и ее приложений, в частности, к теории конических сечений — ее расширили и стали пользоваться другими фигурами (кроме прямоугольника и квадрата) для изображения рассматриваемых величин.

Так как Эвклид доказывает, что квадрат, построенный на одном катете, равен прямоугольнику (т. е. произведению) из проекции этого катета на гипотенузу и всей гипотенузы, то весьма вероятно, что в старом доказательстве, которое он желал заменить своим, пользовались соответствующими теоремами о средних пропорциональных.
Что касается преобразования какой-нибудь фигуры в квадрат, преобразования, которым должны были пользоваться либо для того, чтобы придать уравнениям приведенную нами выше форму, либо чтобы построить, не прибегая к пифагоровой теореме, величину, представляемую в современном решении квадратным корнем, то пифагорейцам определенным образом приписывают знакомство с следующей задачей:
Построить фигуру, равновеликую данной фигуре и подобную другой фигуре. Во всяком случае, речь здесь могла итти только о прямолинейных фигурах, а в интересующем нас частном случае вторая фигура это квадрат; более общая форма задачи имеется в „Началах" (VI, 25), где Эвклид пользуется ею для своих обобщенных приложений площадей. Один позднейший автор, приписавший пифагорейцам знакомство с задачей в этом последнем виде, хотел этим дать понять, что пифагорейцы обладали предпосылками, необходимыми для приложения площадей; но простое приложение площадей требует лишь преобразования фигуры в квадрат.

Таким образом древние, как мы видим, рассмотрели все виды уравнения второй степени, дающие положительные корни, а о других у них не могло быть и речи, поскольку им было совершенно чуждо представление об отрицательных количествах. Для данного нами здесь геометрического решения мы предположили, что известный член — являющийся из соображений однородности всегда площадью — задан в виде квадрата; в таком случае решение получается с помощью так называемой пифагоровой теоремы. Теорема эта — частные случаи которой, несомненно, были известны египтянам — приписывалась Пифагору, но мы ничего не знаем о способе, каким он доказал ее. Возможно, что в своем доказательстве он опирался на подобие треугольников. В таком случае, при тогдашнем состоянии теории пропорций, она могла быть точной лишь тогда, когда стороны были соизмеримы; действительно, лишь в это время начали вводить геомефические построения общего характера, и именно Эвклид, как нам эго определенно сообщают, был, повидимому, подлинным автором общего доказательства, приводимого в книге I, 47 „Начал".
Так как Эвклид доказывает, что квадрат, построенный на одном катете, равен прямоугольнику (т. е. произведению) из проекции этого катета на гипотенузу и всей гипотенузы, то весьма вероятно, что в старом доказательстве, которое он желал заменить своим, пользовались соответствующими теоремами о средних пропорциональных.

Вышеуказанный нами первый способ представления рассматриваемой задачи в виде эллиптического приложения площади имел то неудобство, что, пользуясь им, древние давали обыкновенно лишь одно решение уравнения ; неудобство это отпадало теперь при втором способе представления ее.

Рассматриваемая теорема употребляется таким способом у Эвклида (I, 43—44), но в несколько более общей форме: прямоугольники здесь заменены параллелограмами. Наоборот, в книге II тот же самый Эвклид пользуется прямоугольниками. Что касается вопроса о пользовании задолго до Эвклида теоремами этой II книги (ибо, как утверждают, пифагорейцы были знакомы с приложением площадей), то объяснение этого следует искать в VI книге, хотя в ней применения названных теорем даны в обобщенном виде, являющемся открытием либо Эвклида, либо его непосредственных предшественников .

Таким образом получали второе геометрическое представление величин, именно, как площадей, и, прежде всего, как прямоугольников и квадратов. Чтобы складывать или вычитать их, им нужно было придать общую сторону, но не прибегая при этом к теории пропорций, ибо теория эта в том объеме, в каком ею владели в V в., основывалась исключительно на пользовании соизмеримыми величинами. Поэтому при введении в прямоугольник новой стороны основывались на следующей теореме: прямые, параллельные сторонам прямоугольника и пересекающиеся между собой на диагонали, делят этот прямоугольник на четыре других, из коих два равновелики между собой, — именно те, через которые не проходит рассматриваемая диагональ ; если один из этих прямоугольников есть заданный прямоугольник, то нетрудно придать другому данную сторону.