Какая-нибудь крайне общая — рациональная или иррациональная — величина может, прежде всего, быть изображена длиной прямолинейного отрезка; для вычитания или сложения изображенных таким образом величин надо будет нанести один из отрезков на другой или на его продолжение. Мы отметили выше применения этого метода в случае суммирования арифметических прогрессий у Архимеда; он особенно пригоден для представления уравнений первой степени с целыми коэфициентами или даже рациональными коэ-фицчентами, ибо последние могут быть приведены к целым числам.
Умножение общих величин, взятое в непосредственном смысле слова, есть бессмыслица, но с этим справились, применив к общим величинам уже известное нам геометрическое представление произведения двух целых чисел. Однако в древности не обобщали, как в современной математике, арифметических понятий умножения и произведения. Вместо того чтобы говорить о произведении общих величин, говорили о прямоугольнике, образованном двумя отрезками, изображающими сомножители, и производили действия над этим прямоугольником. Но так как подобным же образом представляли настоящие произведения целых чисел, то можно было всегда руководиться применяемым в этом последнем случае арифметическим подходом. Поэтому я смогу в нижеследующем, не боясь вызвать этим недоразумений, обозначать через ab прямоугольник, образованный из а и Ь, а через а2 квадрат, построенный на а.

Эту геометрическую арифметику распространили даже на пространство. Пространственные числа — это числа, изображаемые с помощью параллелепипеда, т. е. произведения трех сомножителей; если эти сомножители равны между собой, то мы имеем кубические числа. Множители двух подобных пространственных чисел пропорциональны друг другу, и следовательно, их отношение равно отношению двух кубических чисел. Пирамидальное число — это сумма ряда п - угольных чисел, имеющего первым членом 1, причем предполагается, что многоугольники положены друг на друга так, чтобы образовать пирамиду.

Мы увидим, что такое представление чисел прямоугольниками и квадратами дало начало принципу геометрической алгебры, между тем как геометрическая арифметика пользовалась еще другими фигурами.
Мы сказали, что введение понятия о треугольных числах приписывалось пифагорейцам. Под треугольными числами понимают суммы первых последовательных чисел натурального числового ряда; при этом единицы каждого числа изображают в виде строк из точек, располагаемых друг под другом, так что они составляют треугольник.
Легко заметить, что этот способ представления мог дать начало настоящему исчислению: действительно, достаточно для этого построить, наряду с первым треугольником из точек, второй так, чтобы они составляли вместе параллелограм. Так как в каждой строке имеется одинаковое число точек (п + 1, если п означает число строк), то совокупность точек, параллелограмау т. е. удвоенное треугольное число, равно п (п + 1); это, как мы видим, тот же метод, каким пользуются в алгебре, когда прибавляют к самой себе арифметическую прогрессию, взятую в обратном порядке.

От этого геометрического способа представления происходит общеупотребительное у греков название плоских чисел для чисел, являющихся произведением двух сомножителей, т. е. образующих прямоугольную площадь, и употребляемое еще и ныне название квадратных чисел. Плоские числа называются подобными, когда их множители пропорциона ьны; в этом случае числа эти пропорциональны двум квадратным числам.
С помощью квадрата, изображающего некоторое квадратное число (я2), можно получить следующее квадратное число [fn+ 1)2], построив вдоль обеих сторон 2/2 новых квадратиков, затем еще один квадратик в получившемся входящем угле. Эта дополнительная фигура называется гномоном; гномоном же называется, вообще, всякая фигура, представляющая разность между двумя перспективно подобными фигурами, с угловой точкой в качестве центра подобия. В данном случае эта разность равна 2/2 + 1. Таким путем можно найти, что квадратные числа представляют суммы последовательных нечетных чисел; если же принять и 2/2 + 1 за квадратное число, то можно получить рациональные стороны прямоугольного треугольника или же решение в целых числах неопределенного уравнения: x2+y2 = z2. Это решение приписывалось Пифагору, а для получения решения, приписываемого Платону, надо принять ширину гномона за 2.
Если придать гномону произвольную ширину, то можно получить самое общее решение этого уравнения в целых числах. С этой целью Эвклид в первой лемме к теореме 28 второй книги пользуется преобразованием, соответствующим на нашем теперешнем алгебраическом языке, примерно, введению новых неизвестных z + х = и, z —х = v (т. е. ширина гномона равна uv должно равняться тогда некоторому квадрату у2. Эвклид в этом случае может опираться на геометрическую алгебру, развитую-им во второй книге „Начал".

В наших учебниках часто встречается геометрическое доказательство теоремы, „что произведение целых чисел не зависит от порядка сомножителей" Для доказательства размещают единицы, или представляющие их точки, в виде прямоугольника; каждая горизонтальная строка содержит единицы множимого, число же строк равно множителю; заменив горизонтальные строки вертикальными, мы тем самым доказываем возможность обмена места сомножителями. Если вместо единиц мы возьмем маленькие квадраты со стороной, равной 1,то мы одновременно с этим докажем геометрическую теорему, что „площадь прямоугольника выражается произведением его сторон"; если же отказываются взять определенную единицу, то, предполагая, что стороны соизмеримы, получают теорему: „площади двух прямоугольников относятся между собой, как произведения их сторон".

Чтобы составить себе ясное представление об уровне тогдашних математических знаний на основании только что приведенных отрывков, следует, прежде всего, обратить внимание на краткость указания о построении трапеции по ее сторонам; заметим также, что пользование величиной сторон треугольника для определения того, острый ли, прямой ли или тупой некоторый угол его, считается чем-то общеизвестным, равно как признается общеизвестной теорема, что площади кругов относятся междусобой, как квадраты, построенные на их диаметрах. Однако тогда еще не могли знать ни эвклидова доказательства этой теоремы, ни какого-нибудь другого доказательства ее, которое удовлетворило бы позднейших греческих математиков. В правильности ее убедились, вероятно, с помощью соображений, аналогичных тем, которыми злоупотреблял Антифон.

Согласно Эвдему, Гиппократ доказывает прежде всего, что в кругах площади подобных сегментов пропорциональны квадратам диаметров; для доказательства этого положения он, вероятно, пользовался соответствующей теоремой о двух кругах. С помощью этой теоремы он находит потом площадь луночки, ограниченной полуокружностью и дугой в 90°, построенной на диаметре этой полуокружности, и доказывает, что эта луночка равновелика равнобедренному прямоугольному треугольнику, имеющему гипотенузой диаметр полуокружности.
В сохранившемся до нашего времени отрывке имеется еще построение одной луночки, которая вместе с некоторым кругом дает площадь, доступную квадратуре; квадратура этой луночки привела бы к квадратуре круга, но она не тождественна ни с одной из тех, для которых были найдены ранее квадратуры, и Гиппократ, сумевший сам построить эти луночки так, что они были доступны квадратуре, должен был, что бы ни утверждал Аристотель, не хуже нас понимать это.

Софизм этот, вместе с рассуждением Антифона, доказывает, во всяком случае, что в эту эпоху уже были знакомы с методом получения и проверки приблизительных определений площади круга. Меньшую ценность представляли решения, заключавшиеся в том, чтобы найти число, являющееся одновременно и квадратным числом и так называемым циклическим числом, т. е. таким, что квадрат его оканчивается той же цифрой, что и само число. Из этого грубого софизма видно, что борьба, начатая Зеноном против неточных или неполных выражений правильных мыслей в математике, привела не только к тому, что математики стали тщательнее заботиться о точности своих рассужедний; она, с другой стороны, научила софистов, не бывших одновременно и математиками, пользоваться математическами приемами для получения нелепых заключений.
Однако, когда Аристотель и его комментаторы, сообщающие о случаях подобного извращения математической мысли, обвиняют такого математика, как Гиппократ хиосский, в том, что он утверждал, будто он добился квадратуры круга, то, очевидно, они смешивают преследовавшуюся Гиппократом цель с реально полученным им результатом. Но благодаря этому обвинению мы имеем хоть возможность познакомиться с исследованиями Гиппократа, которые не только привели их автора к интересному результату, именно к первым квадратурам площадей, ограниченных кривыми линиями, ло и представляют прекрасный образчик методов, находившихся в распоряжении талантливого геометра V в., а также того, как он умел ими пользоваться. Ввиду всех этих соображений мы приведем здесь извлечение из сообщения Эвдема о работах Гиппократа.

Перейдем теперь от этих принципиальных вопросов к некоторым частным исследованиям, которые были начаты тоже в V в. и которыми занимались математики в течение всего доэвклидовского периода и даже после него. Мы выше коснулись вопроса о квадратуре круга; под этим следует понимать как проблему вычисления с достаточным приближением длины окружности и площади круга, так и задачу построения квадрата, равновеликого площади круга, а также отрезка, равного длине окружности.
Из вышеизложенного ясно, что решение этой второй задачи как в силу точного характера ее, так и благодаря возможности использовать ее затем для вычислений должно было казаться достойным всяческих усилий; по этой причине вплоть до Архимеда математики пренебрегали вычислениями, дававшими лишь неточные результаты. Как мы уже видели, отвращение к подобным выкладкам побудило Антифона обратиться к вписанным многоугольникам — прекрасному средству для производства вычислений, чтобы защитить безнадежный тезис о решении рассматриваемой задачи путем построения.
Греки знали также способ вычисления верхнего предела для площади, именно — описанные многоугольники, но и это дало повод ко всякого рода софизмам. Так, некий Бризон, как рассказывают, утверждал, будто для нахождения площади круга достаточно провести новый многоугольник между периметрами вписанного и описанного многоугольников: действительно, так как новый многоугольник будет, подобно кругу, больше вписанного многоугольника и меньше описанного, то следовательно (!), он будет равновелик кругу.

Демокрит, несомненно, углубил идею бесконечности, придав тем известный авторитет теоретически построенным на ней рассуждениям. Возможно даже, что он показал применимость ее к некоторым проблемам математики, как, например, к определению объема конуса. Но, тем не менее, идея эта не утвердилась в качестве законного средства для математического доказательства. Гибельный удар ей нанесла, впрочем, не столько диалектика Зенона, который, исходя из философской точки зрения, пытался доказать недостаточность идеи бесконечного для получения известных, совершенно бесспорных результатов, сколько ошибочные заключения, к которым она могла привести.
В качестве примера подобных ошибочных заключений приведем доказательство софиста Антифона, утверждавшего возможность квадратуры круга, т. е. возможность построения квадрата, в точности равновеликого данному кругу. Доказательство это,— если положиться на рассказ противников Антифона, — сводилось к следующему: в круг можно вписать равносторонний треугольник, а затем, деля дуги пополам, правильные многоугольники со все возрастающим числом сторон; если продолжать это построение до бесконечности, то многоугольник сольется с окружностью. Так как для всякого многоугольника можно построить равновеликий ему квадрат, то такой же квадрат можно получить и для-круга.
Такого рода неправильные применения идеи бесконечности лодорвали веру в нее, и она не смогла удержаться в области точной математики, несмотря на все старания Аристотеля доказать в своей „Физике", что непрерывность изменения присуща природе пространства, времени и движения. Во всяком случае, софизмы Зенона, равно как и ответ на них Аристотеля, показывают нам, что если греки отказались от пользования бесконечно-малыми, то не благодаря непониманию их, а вполне сознательно, под влиянием чисто логических соображений. Изобретенный до Аристотеля Эвдоксом метод позволял принять., такое решение. Действительно, с помощью этого метода,—так называемого метода исчерпывания, — можно было доказать, не прибегая к бесконечно-малым величинам, правильность рассматриваемых дедукций. Но я остановлюсь на этом методе лишь после ознакомления с приложениями его у Эвклида; точно так же с объяснением теории пропорций Эвдокса, связанной с доказательством путем метода исчерпывания, я подожду, пока мы не встретим этой теории в пятой книге „Начал". Заметим здесь только, что она непосредственно применима как к соизмеримым, так и к несоизмеримым величинам, так что после Эвдокса пропорции между несоизмеримыми величинами получили такое же значение, как и пропорции между соизмеримыми количествами.